Question

Решите уравнение√2sinx-√2cosx=√3​

Answer 1

√2sinx-√2cosx=√3​ |: 2

$\frac{\sqrt{2} }{2} sinx- \frac{\sqrt{2} }{2} cosx=\frac{\sqrt{3} }{2}$

$sinx*cos45- cosx*sin45=\frac{\sqrt{3} }{2}$

sin(x-45)=$\frac{\sqrt{3} }{2}$

$sin(x-\frac{\pi }{4} )=\frac{\sqrt{3} }{2}$

$x-\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{3} +2\pi n$ , $x=\frac{\pi }{4} +\frac{\pi }{3} +2\pi n= \frac{7\pi }{12} +2\pi n$

$x-\frac{\pi }{4} =\frac{2\pi }{3} +2\pi n$  , $x=\frac{\pi }{4} +\frac{2\pi }{3} +2\pi n= \frac{11\pi }{12} +2\pi n$

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его, чтобы избавиться от корней. Умножим обе стороны уравнения на √2:

√2sin(x) - √2cos(x) = √3

Теперь разделим обе стороны на √2:

sin(x) - cos(x) = √3/√2

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для синуса и косинуса суммы углов:

sin(π/4) = √2/2 cos(π/4) = √2/2

Теперь мы можем представить √3/√2 в виде √6/2:

sin(x) - cos(x) = √6/2

Сравним это уравнение с тригонометрической формулой для sin(π/4 - α), где α - это угол, который мы ищем:

sin(π/4 - α) = √6/2

Теперь найдем α:

π/4 - α = arcsin(√6/2)

α = π/4 - arcsin(√6/2)

Теперь мы найдем значения sin и cos для α:

sin(α) = sin(π/4 - arcsin(√6/2)) cos(α) = cos(π/4 - arcsin(√6/2))

Теперь мы можем найти значение x:

x = π/4 - α

x = π/4 - (π/4 - arcsin(√6/2))

x = π/4 - π/4 + arcsin(√6/2)

x = arcsin(√6/2)

Таким образом, решение уравнения:

√2sin(x) - √2cos(x) = √3

это:

x = arcsin(√6/2)

Однако стоит помнить, что в общем случае угол α может иметь несколько значений в пределах периодичности функции синуса (2π), поэтому ответом может быть:

x = arcsin(√6/2) + 2πn, где n - целое число.