Question

Решить уравнения а) tgx-ctg(3п/2+x)+1=0 б) 2cos^2 x-cosx=1

Answer 1

пгмормгагпнпнанснсгм

Answer 2

$a)\; tgx-ctg(\frac{3\pi}{2}+x)+1=0\\\\tgx-(-tgx)=-1\\\\tgx+tgx=-1\\\\2tgx=-1\\\\tgx=-\frac{1}{2}\\\\x=arctg(-\frac{1}{2})+\pi n, n\in Z\\\\x=-arctg\frac{1}{2}+\pi n, n\in Z$

$b)\; 2cos^2x-cosx=1\\\\2cos^2x-cosx-1=0\\\\y=cosx\\\\2y^2-y-1=0\\\\D=(-1)^2-4*2*(-1)=1+8=9=3^2\\y_1=(1+3)/4=4/4=1\\y_2=(1-3)/4=-2/4=-1/2\\\\cosy_1=1\\y_1=2\pi n, n\in Z\\\\cosy_2=-\frac{1}{2}\\\\y_2=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\; k\in Z$

Answer 3

а) Начнем с уравнения:

tg(x) - ctg(3п/2 + x) + 1 = 0

Сначала преобразуем ctg(3п/2 + x) в вид тангенса, используя следующее свойство тригонометрических функций: ctg(α) = 1/tg(α).

tg(x) - 1/tg(3п/2 + x) + 1 = 0

Теперь у нас есть уравнение с tg(x) и tg(3п/2 + x). Обозначим tg(x) как t, чтобы упростить уравнение:

t - 1/tg(3п/2 + x) + 1 = 0

Теперь заметим, что tg(3п/2 + x) = -cot(x), так как cot(α) = -1/tan(α):

t + 1/cot(x) + 1 = 0

Теперь у нас есть уравнение с t и cot(x):

t + cot(x) + 1 = 0

Теперь можем объединить t и cot(x):

t + cot(x) = -1

Теперь воспользуемся свойством тригонометрических функций: cot(x) = 1/tan(x):

t + 1/tan(x) = -1

Перемножим обе стороны на tan(x):

t * tan(x) + 1 = -tan(x)

t * tan(x) = -tan(x) - 1

Теперь разделим обе стороны на tan(x):

t = (-tan(x) - 1) / tan(x)

Теперь вернемся к обозначению t = tg(x):

tg(x) = (-tan(x) - 1) / tan(x)

tg(x) = (-1 - tan(x)) / tan(x)

Теперь можно решить это уравнение для x. У нас есть tg(x) с одной стороны и (-1 - tan(x))/tan(x) с другой стороны. Это уравнение можно решить аналитически, но для простоты я рекомендую воспользоваться численными методами или калькулятором.

б) Уравнение:

2cos^2(x) - cos(x) = 1

Мы можем преобразовать его, чтобы получить квадратное уравнение относительно cos(x):

2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0

Теперь давайте заметим, что это квадратное уравнение можно решить, используя переменную t = cos(x):

2t^2 - t - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением или факторизацией:

2t^2 - t - 1 = 0

(2t + 1)(t - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения t:

1. 2t + 1 = 0 2t = -1 t = -1/2

2. t - 1 = 0 t = 1

Теперь мы знаем значения t. Теперь давайте найдем соответствующие значения x, используя обратные косинусы (арккосинусы):

1. Если t = -1/2, то cos(x) = -1/2. Это значение достигается, например, при x = 2π/3 или x = 4π/3.

2. Если t = 1, то cos(x) = 1. Это значение достигается при x = 0.

Итак, решения уравнения 2cos^2(x) - cos(x) = 1:

x = 0, x = 2π/3, x = 4π/3.