Question

Найдите точки экстремума и промежутки функции y=2x^3-6x+4

Answer 1

Ответ:

y= 2x³ -6x - 4

найдём производную

y¹ =2(x³) - 6 (x) - 4 = 6x² - 6

Приравниваем производную к нулю.

найдём критические точки

6x²- 6 =0

x²- 1 = 0

(x-1) (x+1) = 0

x¹=1

x²=-1

Если при переходе через точку производная меняет знак с + на - то эта точка будет точкой максимума

ответ: x = - 1 (точка максимума)

Answer 2

Для нахождения точек экстремума и промежутков функции $y = 2x^3 - 6x + 4$, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y$ по переменной $x$, чтобы найти значения $x$, где производная равна нулю или не существует.

2. Решите уравнение производной равной нулю, чтобы найти $x$-координаты точек экстремума.

3. Используйте вторую производную, чтобы определить тип экстремума (максимум или минимум) и определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает.

4. Найдите соответствующие значения функции $y$ для найденных $x$-координат.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции $y$:

$y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x + 4) = 6x^2 - 6.$

2. Решим уравнение $6x^2 - 6 = 0$ для нахождения $x$-координат точек экстремума:

$6x^2 - 6 = 0.$

Для упрощения давайте разделим обе стороны на 6:

$x^2 - 1 = 0.$

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

$x^2 = 1.$

Извлечем корни:

$x = \pm 1.$

Таким образом, у нас есть две $x$-координаты точек экстремума: $x = 1$ и $x = -1$.

3. Чтобы определить тип экстремума и направление изменения функции на интервалах, нам нужно взглянуть на вторую производную:

$y'' = \frac{d^2}{dx^2}(6x^2 - 6) = 12x.$

Теперь подставим $x = 1$ и $x = -1$ для определения типа экстремума:

• Для $x = 1$: $y''(1) = 12 \cdot 1 = 12$. Так как $y''(1) > 0$, это означает, что у нас есть локальный минимум в точке $(1, y(1))$.

• Для $x = -1$: $y''(-1) = 12 \cdot (-1) = -12$. Так как $y''(-1) < 0$, это означает, что у нас есть локальный максимум в точке $(-1, y(-1))$.

4. Теперь найдем соответствующие значения функции $y$ для найденных $x$-координат:

• Для $x = 1$:

$y(1) = 2 \cdot 1^3 - 6 \cdot 1 + 4 = 2 - 6 + 4 = 0.$

Таким образом, у нас есть локальный минимум в точке $(1, 0)$.

• Для $x = -1$:

$y(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 6 \cdot (-1) + 4 = -2 + 6 + 4 = 8.$

Таким образом, у нас есть локальный максимум в точке $(-1, 8)$.

Итак, точки экстремума функции $y = 2x^3 - 6x + 4$ следующие:

• Локальный минимум в точке $(1, 0)$.
• Локальный максимум в точке $(-1, 8)$.

Функция увеличивается на интервале $(-∞, -1)$ и $(1, ∞)$ и убывает на интервале $(-1, 1)$.