Question

При x€[0; 3π] уравнение 2cos2x=1 сколько имеет корней ​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle 2\, cos\, 2x=1\ \ ,\ \ cos\, 2x=\dfrac{1}{2}\ \ ,\\\\2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\boxed{\ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n\ ,\ n\in Z\ }$

Теперь проверим, сколько корней будет принадлежать промежутку  $[\ 0\ ;\ 3\pi \ ]$ .

$\displaystyle a)\ \ 0\leq \frac{\pi}{6}+\pi n\leq 3\pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 0\leq \dfrac{1}{6}+n\leq 3\ \ ,\ \ \ -\frac{1}{6}\leq n\leq 2\frac{5}{6}$

Так как n - целое, то  n  может принимать значения  0 , 1 , 2 .

Тогда получим корни:  $x_1=\dfrac{\pi}{6}\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{\pi}{6}+\pi =\dfrac{7\pi }{6}\ \ ,\ \ x_3=\dfrac{\pi }{6}+2\pi =\dfrac{13\pi }{6}$

б) Аналогично находим промежуток, которому может принадлежать число  n , для второй серии решений.

$\displaystyle 0\, \leq -\frac{\pi}{6}+\pi n\leq 3\pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 0\leq -\dfrac{1}{6}+n\leq 3\ \ ,\ \ \ \frac{1}{6}\leq n\leq 3\frac{1}{6}$  

Так как n - целое, то  n  может принимать значения  1 , 2 , 3 .

Тогда получим корни:  $x_1=-\dfrac{\pi}{6}+\pi =\dfrac{5\pi }{6}\ \ ,\ \ x_2=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi =\dfrac{11\pi }{6}\ \ ,\ \ x_3=-\dfrac{\pi }{6}+3\pi =\dfrac{17\pi }{6}$  .

Ответ:  6 корней  заданного уравнения принадлежат указанному промежутку .

Answer 2

Ответ:

Ответ : 6 корней

Объяснение:

Решаем уравнением и смотрим сколько корней помещается в этом промежутке

Answer 3

Уравнение $2\cos^2(x) = 1$ можно решить, используя свойства косинуса и квадратного уравнения. Сначала перепишем его в виде:

$\cos^2(x) = \frac{1}{2}$.

Затем извлечем квадратный корень:

$\cos(x) = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}$.

Теперь найдем значения $\cos(x)$, при которых $\cos(x) = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}$.

1. Когда $\cos(x) = \sqrt{\frac{1}{2}}$: Это происходит, когда $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число, и $x$ находится в диапазоне $[0, 3\pi]$.

2. Когда $\cos(x) = -\sqrt{\frac{1}{2}}$: Это происходит, когда $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число, и $x$ также находится в диапазоне $[0, 3\pi]$.

Таким образом, уравнение $2\cos^2(x) = 1$ имеет два корня в заданном диапазоне: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$.