Question

Розв’яжіть рівняння y’=0, якщо y=xsinx+cosx-3/4sinx+1​

Answer 1

Ответ: x1=π*(2*k+1)/2, k∈Z; x2=3/4.

Объяснение:

y'=sin(x)+x*cos(x)-sin(x)-3/4*cos(x)=cos(x)*[x-3/4)]=0⇒

cos(x)=0 ⇒ x=π*(2*k+1)/2, k∈Z

x-3/4=0 ⇒ x=3/4.

Answer 2

Для розв'язання цього диференціального рівняння, давайте спочатку знайдемо похідну виразу y відносно x:

y = x*sin(x) + cos(x) - (3/4)*sin(x) + 1

y' = (d/dx)[x*sin(x)] + (d/dx)[cos(x)] - (d/dx)[(3/4)*sin(x)] + (d/dx)[1]

Використовуючи правила похідних, ми отримаємо:

y' = (sin(x) + x*cos(x)) - (-3/4)*cos(x)

Тепер нам потрібно розв'язати рівняння y' = 0:

(sin(x) + x*cos(x)) - (-3/4)*cos(x) = 0

Додамо обидві сторони на (-3/4)*cos(x):

sin(x) + x*cos(x) + (3/4)*cos(x) = 0

Тепер можемо об'єднати члени з cos(x):

x*cos(x) + (3/4)*cos(x) = -sin(x)

Факторизуємо cos(x):

cos(x)(x + 3/4) = -sin(x)

Тепер розділимо обидві сторони на cos(x):

x + 3/4 = -tan(x)

Тепер ми маємо трансцендентне рівняння, і його точний аналітичний розв'язок може бути складним для отримання. Ми можемо знайти числовий розв'язок цього рівняння, використовуючи числові методи, такі як метод Ньютона або метод золотого перетину. Ці методи допоможуть нам знайти значення x, при якому рівняння виконується, і відповідно знайти значення y за допомогою початкового виразу y = x*sin(x) + cos(x) - (3/4)*sin(x) + 1.