Question

Прошу помогите пожалуйста Вычислите площадь фигуры (предварительно построив ее) б)у=2х^2u у=8

Answer 1

Ответ:  $\frac{64}{3}$

Объяснение:

Нарисуем график (желтым закрашена площадь, которую нужно найти).

• y = 8 - это просто прямая, параллельная Ох.
• y = $2x^{2}$ - это классическая парабола, сжатая в 2 раза.
• Они пересекаются в точках (-2, 8) и (2, 8).

Есть правило, что если на отрезке [a, b] какая-то непрерывная функция f(x) больше или равна g(x), то площадь фигуры, ограниченной этими графиками на отрезке [a, b] будет равна $\int\limits^a_b {(f(x) - g(x))} \, dx$

Очевидно, что y = 8 больше или равна y = $2x^{2}$ на отрезке [-2, 2]. Посчитаем соответствующий интеграл:

$\int\limits^2_{-2} {(8-2x^{2}) } \, dx =(8x-2\frac{x^{3} }{3} )|\limits^2_{-2} =32-\frac{32}{3} =\frac{64}{3}$

Это и есть ответ.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций $u = 2x^2$ и $u = 8$, нужно найти точки их пересечения и интегрировать разность этих функций вдоль оси $x$.

Сначала найдем точки пересечения этих функций, установив уравнение $2x^2 = 8$:

$2x^2 = 8$

Решим это уравнение:

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: $x = -2$ и $x = 2$.

Теперь мы можем интегрировать разность функций $u = 2x^2$ и $u = 8$ от $x = -2$ до $x = 2$ для нахождения площади под кривой:

$S = \int_{-2}^{2} (2x^2 - 8) \, dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[\frac{2}{3}x^3 - 8x\right]_{-2}^{2}$

$S = \left(\frac{2}{3}(2)^3 - 8(2)\right) - \left(\frac{2}{3}(-2)^3 - 8(-2)\right)$

$S = \left(\frac{16}{3} - 16\right) - \left(-\frac{16}{3} + 16\right)$

$S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиками функций $u = 2x^2$ и $u = 8$ равна $\frac{32}{3}$.