Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=2 корня из x, которая перпендикулярна прямой y = -x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

две прямые у=к1х+в1 и у=к2х+в2 перпендикулярны если к1=-1/к2

к2=-1 к1=1

уравнение касательной у=х+b.

f'(x)=2*1/2*x^(-1/2)=x^(-1/2)

f'(x0)=1

1/x^(1/2)=1

x0=1 y0=2*sqrt(1)=2

y=y0+y'(x0 )(x-x0)

y=2+1(x-1)

y=2+x-1

y=x+1

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = 2\sqrt{x}$, которая перпендикулярна прямой $y = -x$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$.

2. Найдите уравнение нормали (прямой, перпендикулярной касательной) в точке, где она касается графика функции.

3. Подставьте координаты точки касания, найденные на шаге 2, в уравнение нормали, чтобы получить искомое уравнение касательной.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f(x) = 2\sqrt{x}$

$f'(x) = \frac{d}{dx} (2\sqrt{x})$

Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Теперь перейдем ко второму шагу:

2. Найдем уравнение нормали в точке $(a, b)$, где она касается графика функции $f(x) = 2\sqrt{x}$.

Уравнение нормали имеет следующий вид:

$y - b = m(x - a)$,

где $m$ - наклон нормали.

Наклон нормали в точке $(a, b)$ перпендикулярен наклону касательной, что равно $\frac{1}{\sqrt{a}}$. Поскольку нормаль перпендикулярна прямой $y = -x$, то $m = -1/\frac{1}{\sqrt{a}} = -\sqrt{a}$.

Теперь у нас есть уравнение нормали:

$y - b = -\sqrt{a}(x - a)$.

3. Осталось найти координаты точки касания нормали и графика функции. Это можно сделать, приравняв $x$ и $f(x)$:

$x = a$ $f(x) = b$

Таким образом, $a = x$ и $b = 2\sqrt{x}$.

Подставляем $a$ и $b$ в уравнение нормали:

$y - 2\sqrt{x} = -\sqrt{x}(x - x)$

$y - 2\sqrt{x} = 0$

Теперь у нас есть уравнение касательной к графику функции $f(x) = 2\sqrt{x}$, которая перпендикулярна прямой $y = -x$:

$y - 2\sqrt{x} = 0$