Question

Решите неравенство f`(x)>\=0, если f(x)=2x^4-16x^2

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы решить неравенство $f'(x) \geq 0$, где $f(x) = 2x^4 - 16x^2$, мы начнем с вычисления производной $f'(x)$ и найдем ее корни. Затем мы определим интервалы, на которых производная положительна или равна нулю.

Сначала найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^4 - 16x^2).$

Производная будет равна: $f'(x) = 8x^3 - 32x.$

Теперь найдем корни этой производной, решив уравнение $f'(x) = 0$: $8x^3 - 32x = 0.$

Вынесем общий множитель 8x: $8x(x^2 - 4) = 0.$

Теперь решим $x^2 - 4 = 0$: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0.$

Таким образом, у нас есть два корня:

1. $x = 0$,
2. $x = 2$,
3. $x = -2$.

Теперь определим интервалы, на которых $f'(x) \geq 0$. Для этого мы можем взять по одной точке из каждого интервала, образованного корнями $x$, и проверить знак $f'(x)$ в этой точке.

1. Возьмем точку $x = -\infty$ (левее -2). Если подставить $x = -\infty$ в $f'(x)$, получится отрицательное число, так как все слагаемые в производной будут отрицательными. Значит, $f'(x) < 0$ на интервале $(-\infty, -2)$.
2. Теперь возьмем точку $x = -3$ (между -2 и 0). Если подставить $x = -3$ в $f'(x)$, получится положительное число (первое слагаемое отрицательное, а второе положительное). Значит, $f'(x) > 0$ на интервале $(-2, 0)$.
3. Возьмем точку $x = 1$ (между 0 и 2). Если подставить $x = 1$ в $f'(x)$, получится положительное число (оба слагаемых положительны). Значит, $f'(x) > 0$ на интервале $(0, 2)$.
4. Наконец, возьмем точку $x = +\infty$ (правее 2). Если подставить $x = +\infty$ в $f'(x)$, получится положительное число, так как все слагаемые в производной будут положительными. Значит, $f'(x) > 0$ на интервале $(2, +\infty)$.

Итак, решение неравенства $f'(x) \geq 0$ для функции $f(x) = 2x^4 - 16x^2$ состоит в объединении интервалов: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty).$