Question

Знайти площу фігури обмеженою графіком: y=-x^2+4; y=x^2+2x

Answer 1

Відповідь: 9

Пояснення:

Фото

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої графіками функцій y = -x^2 + 4 і y = x^2 + 2x, спершу знайдемо їхні точки перетину. Щоб це зробити, вирівняємо обидві функції та розв'яжемо рівняння:

-y = x^2 + 2x - (-x^2 + 4)

Тепер з'єднаємо подібні члени:

0 = 2x^2 + 2x - 4

Ділимо обидві сторони на 2 для спрощення:

0 = x^2 + x - 2

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Ми можемо використовувати квадратну формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

У нашому випадку a = 1, b = 1, і c = -2. Підставимо ці значення:

x = (-1 ± √(1^2 - 4(1)(-2))) / (2(1))

x = (-1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (-1 ± √9) / 2

x = (-1 ± 3) / 2

Отже, ми маємо два значення x:

x1 = ( -1 + 3 ) / 2 = 2 / 2 = 1 x2 = ( -1 - 3 ) / 2 = -4 / 2 = -2

Знайдемо відповідні значення y, використовуючи обидва рівняння:

Для x = 1: y1 = -x^2 + 4 = -(1^2) + 4 = -1 + 4 = 3

Для x = -2: y2 = -x^2 + 4 = -(-2^2) + 4 = -4 + 4 = 0

Таким чином, точки перетину графіків рівні (1, 3) і (-2, 0).

Тепер ми можемо побудувати графіки цих функцій та знайти площу фігури, обмеженої цими графіками.

Графік функції y = -x^2 + 4 є параболою, яка відкривається вниз і перетинає ось y на точці (0, 4). Графік функції y = x^2 + 2x є параболою, яка відкривається вгору і перетинає ось y на точці (0, 0).

Тепер ми можемо обчислити площу фігури, обмеженої цими графіками, за допомогою інтегралу:

Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

де a і b - абсциси точок перетину, f(x) - верхня функція, а g(x) - нижня функція.

a = -2, b = 1, f(x) = 4 - x^2, g(x) = x^2 + 2x.

Площа = ∫[-2, 1] (4 - x^2 - (x^2 + 2x)) dx Площа = ∫[-2, 1] (4 - 2x^2 - 2x) dx

Тепер обчислимо інтеграл:

Площа = [4x - (2/3)x^3 - x^2] от -2 до 1

Площа = [(4(1) - (2/3)(1)^3 - (1)^2) - (4(-2) - (2/3)(-2)^3 - (-2)^2)]

Площа = [4 - (2/3) - 1 - (-8 + (16/3) - 4)]

Площа = [4 - (2/3) - 1 + 8 - (16/3) + 4]

Площа = 8 - (2/3) + 8 - (16/3)

Площа = (8 + 8) - ((2/3) + (16/3))

Площа = 16 - (18/3)

Площа = 16 - 6

Площа = 10 квадратних одиниць.

Отже, площа фігури, обмеженої графіками функцій y = -x^2 + 4 і y = x^2 + 2x, дорівнює 10 квадратним одиницям.