Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції f(x), графіком дотичної до нього в точці х0=1 та прямою х=0 f(x) = x^2-4x

Answer 1

Ответ: S=1/3 кв. ед.

Объяснение:

f(x)=x²-4x     x₀=1      x=0      S=?

yk=y(x₀)+y'(x₀)*(x-x₀)

y(1)=1²-4*1=1-4=-3.

y'(1)=(x²-4x)'=2x-4=2*1-4=2-4=-2.    ⇒

yk=-3-2*(x-1)=-3-2x+2=-2x-1.

y=x²-4x    y=-2x-1     x=0     S=?

x²-4x=-2x-1

x²-2x+1=0

(x-1)²=0

x-1=0

x=1.     ⇒

S=₀∫¹(x²-4x-(-2x-1)dx=₀∫¹(x²-4x+2x+1)dx=₀∫¹(x²-2x+1)dx=

=₀∫¹x²dx-₀∫¹2xdx+₀∫¹dx=(x³/3-x²+x)  ₀|¹=(1³/3)-1²+1-(0³/3-0²+0)=1/3.

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої графіком функції f(x), графіком дотичної до нього в точці x0=1 та прямою x=0, нам потрібно спершу знайти точки перетину графіків та рівняння дотичної до функції f(x) в точці x0=1.

1. Знайдемо точку перетину графіку функції f(x) з прямою x=0: Підставимо x=0 у рівняння функції: f(0) = 0^2 - 4 * 0 = 0. Отже, графік функції перетинає вісь y у точці (0, 0).

2. Знайдемо похідну функції f(x) для знаходження рівняння дотичної: f(x) = x^2 - 4x f'(x) = 2x - 4.

3. Знайдемо значення похідної в точці x0=1: f'(1) = 2 * 1 - 4 = -2.

4. Знайдемо рівняння дотичної до функції f(x) в точці x0=1: y - f(1) = f'(1) * (x - 1) y - (1^2 - 4 * 1) = -2 * (x - 1) y + 3 = -2x + 2 y = -2x - 1.

5. Знайдемо точку перетину рівняння дотичної з віссю y: Підставимо x=0 у рівняння дотичної: y = -2 * 0 - 1 = -1. Отже, точка перетину дотичної з віссю y має координати (0, -1).

6. Знайдемо точку перетину графіку функції f(x) та дотичної: Підставимо y=0 у рівняння дотичної: 0 = -2x - 1. Звідси отримуємо x = -1/2. Підставимо x = -1/2 у рівняння функції f(x): f(-1/2) = (-1/2)^2 - 4 * (-1/2) = 1/4 + 2 = 9/4. Отже, точка перетину графіку та дотичної має координати (-1/2, 9/4).

Таким чином, ми маємо дві точки: (0, 0) та (-1/2, 9/4), які визначають межі інтервалу, на якому розташована фігура.

Знаходимо площу під графіком функції f(x) на інтервалі [0, -1/2]: Площа = ∫[0, -1/2] f(x) dx = ∫[0, -1/2] (x^2 - 4x) dx = [x^3/3 - 2x^2] [0, -1/2] = (-1/8 - 2/4) - (0) = -1/8 - 1/2 = -5/8.

Отже, площа фігури, обмеженої графіком функції f(x), графіком дотичної та прямою x=0, дорівнює 5/8 квадратних одиниць.