Question

Дослідіть функцію y = x³ - 3x² та побудуйте її графік.​

Answer 1

Построим график кубического уравнения, используя его характеристику и несколько выбранных точек.

Левая ветвь направлена вниз, правая направлена вверх

$x$    |     $y$

-1       -4

0        0

1         -2

2        -4

3         0

Answer 2

Щоб дослідити функцію y = x³ - 3x² та побудувати її графік, ми можемо провести декілька кроків:

1. Знайдемо похідну функції y відносно x, щоб знайти її точки мінімуму та максимуму, а також точки перегину.
2. Знайдемо значення функції в цих точках, а також в інших важливих точках, таких як нулі функції.
3. Побудуємо графік функції з врахуванням цих результатів.

Крок 1: Знайдемо похідну функції y = x³ - 3x². y' = d/dx (x³ - 3x²)

Використовуючи правила похідної, ми отримуємо: y' = 3x² - 6x

Крок 2: Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю, щоб знайти точки мінімуму та максимуму: 3x² - 6x = 0

Ділимо обидві сторони на 3: x² - 2x = 0

Факторизуємо: x(x - 2) = 0

З цього рівняння отримуємо дві точки: x₁ = 0 x₂ = 2

Знайдемо значення функції y в цих точках: y(0) = 0³ - 3(0)² = 0 y(2) = 2³ - 3(2)² = 8 - 12 = -4

Крок 3: Побудуємо графік функції y = x³ - 3x²:

Для цього візьмемо декілька додатних і від'ємних значень x та визначимо відповідні значення y:

x = -2, y = (-2)³ - 3(-2)² = -8 - 12 = -20 x = -1, y = (-1)³ - 3(-1)² = -1 - 3 = -4 x = 1, y = (1)³ - 3(1)² = 1 - 3 = -2 x = 3, y = (3)³ - 3(3)² = 27 - 27 = 0 x = 4, y = (4)³ - 3(4)² = 64 - 48 = 16

Тепер побудуємо графік за допомогою цих точок:

luaCopy code
  ^
  |
16|                           *
15|                          *
14|                         *
13|                       *
12|                    *
11|                *
10|            *
  |      *  
  |  * 
  +---------------------------------->
    -2   -1   0   1   2   3   4

Це графік функції y = x³ - 3x². Ви бачите, що вона має точку мінімуму в точці (2, -4) та точку перегину в точці (0, 0). Графік проходить через точки (1, -2) та (3, 0), і він знижується в обох напрямках від цих точок.