Question

Найдите все двузначные числа, равные произведению своих цифр, увеличенных на 1.

Answer 1

Обозначим искомые числа $\bar{ab}$ (а может принимать значения 1, 2, ..., 9; b - значения 0, 1, ..., 9).
Это число можно представить в виде 10a+b. С другой стороны, оно равно произведению своих цифр, увеличенных на 1, то есть (a+1)(b+1). Составляем уравнение:
$10a+b=(a+1)(b+1) \\\ 10a+b=ab+a+b+1 \\\ 9a=ab+1 \\\ ab=9a-1 \\\ b= \frac{9a-1}{a} \\\ b=9- \frac{1}{a}$
Число а - делитель числа 1, единственное возможное значение а - это $a=1$, тогда $b=9- \frac{1}{1} =8$. Значит, число, удовлетворяющее условию задачи, единственное, и оно равно 18.
Ответ: 18