Question

Даю 25 баллов!!! В геометрической прогрессии все члены отличные от нуля числа. Знаменатель не равен 1 и -1. Разность одиннадцатого и пятого членов прогрессии больше разности седьмого и пятого в 21 раз. Сумма первых восьми членов равна 1020.Найдите четвёртый член данной прогрессии.

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\frac{b_{11} - b_{5} }{b_{7} -b_{5} } =21\\\\\\\frac{b_{1} \cdot q^{10} -b_{1} \cdot q^{4} }{b_{1} \cdot q^{6}-b_{1} \cdot q^{4} } =21\\\\\\\frac{b_{1} q^{4}\cdot(q^{6} -1) }{b_{1} q^{4} \cdot(q^{2} -1)} =21\\\\\\\frac{(q^{2} )^{3} -1^{3} }{q^{2} -1} =21\\\\\\\frac{(q^{2} -1)(q^{4} +q^{2} +1)}{q^{2} -1} =21$

$\displaystyle\bf\\q^{4} +q^{2} +1=21\\\\q^{4} +q^{2} -20=0\\\\q^{2} =m \ \ , \ \ m > 0 \\\\m^{2} +m-20=0\\\\Teorema \ Vieta \ :\\\\m_{1} =4\\\\m_{2} =-5 < 0-neyd\\\\q^{2} =4\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}q_{1} =-2\\q_{2} =2\end{array}\right$

$\displaystyle\bf\\S_{8} =1020\\\\1) \ \ q=-2\\\\\\S_{8} =\frac{b_{1} \cdot(q^{8} -1)}{q-1} =\frac{b_{1} \cdot(256-1)}{-2-1} =\frac{b_{1} \cdot 255}{-3} =-85b_{1} \\\\\\-85b_{1} =1020\\\\b_{1} =-12\\\\b_{4} =b_{1} \cdot q^{3} =-12\cdot (-2)^{3} =-12\cdot (-8)=96\\\\\\2) \ \ q=2$

$\displaystyle\bf\\S_{8} =\frac{b_{1} \cdot(q^{8} -1)}{q-1} =\frac{b_{1} \cdot(256-1)}{2-1} =\frac{b_{1} \cdot 255}{1} =255b_{1} \\\\\\255b_{1} =1020\\\\b_{1} =4\\\\b_{4} =b_{1} \cdot q^{3} =4\cdot 2^{3} =4\cdot 8=32\\\\\\Otvet \ : \ b_{4} = 96 \ \ ili \ \ b_{4} =32$

Answer 2

$b_{11}-b_5=21(b_7-b_5)\\S_{8}=1020\\b_4= \;?$

$b_1q^{10}-b_1q^{4}=21b_1q^6-21b_1q^4\\q^{10}-q^4=21q^6-21q^4\\q^6-1=21q^2-21\\q^6-21q^2+20=0$

$></p> <p>Сделаем замену <img src=$

$p^3-21p+20=0$

Корень  $p=1$ сразу подбирается, далее разделим уголком этот трёхчлен на двучлен $(p-1)$ (см. фото):

$p^3-21p+20=(p-1)(p^2+p-20)=0$

Решим квадратное уравнение:

$p^2+p-20=0\\D=(-1)^2+4 \cdot 20=81\\p_1=\dfrac{-1+9}{2}=4\\p_2=\dfrac{-1-9}{2}=-5$

Отрицательный корень не подходит, т. к. $p=q^2 > 0$:

$q^2=4\\q_1=2\\q_2=-2$

Первый случай q=2:

$S_{8}=\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\dfrac{b_1(2^8-1)}{2-1}=b_1(256-1)=255b_1=1020\\b_1=4\\b_4=b_1q^3=4\cdot 2^3=4 \cdot 8=32$

Второй случай q=-2:

$S_8=\dfrac{b_1((-2)^8-1)}{-2-1}=-\dfrac{255}{3}b_1=1020\\-\dfrac{1}{3}b_1=4\\b_1=-12\\b_4=b_1q^3=-12 \cdot (-2)^3=12 \cdot 8=96$

Ответ: 32 либо 96.

Answer 3

Давайте обозначим члены геометрической прогрессии следующим образом:

a - первый член ar - второй член ar^2 - третий член ar^3 - четвертый член и так далее...

Известно, что сумма первых восьми членов равна 1020, поэтому:

a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 + ar^6 + ar^7 = 1020

Теперь рассмотрим условие, что разность одиннадцатого и пятого членов прогрессии больше разности седьмого и пятого в 21 раз:

ar^10 - ar^4 > ar^6 - ar^4 * 21

Для упрощения расчетов давайте поделим обе стороны на ar^4:

r^6 - 1 > 21

Теперь мы можем рассмотреть несколько вариантов для r:

1. Если r > 1, то r^6 становится больше 1, и условие выполняется только для r^6 = 22. В этом случае r ≈ 1.314.

2. Если 0 < r < 1, то r^6 становится меньше 1, и условие не выполняется.

3. Если r < 0, то r^6 также меньше 1, и условие не выполняется.

Итак, нашли одно допустимое значение для r: r ≈ 1.314.

Теперь мы можем использовать информацию о сумме первых восьми членов прогрессии, чтобы найти значение a:

a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 + ar^6 + ar^7 = 1020

Подставляем значение r ≈ 1.314:

a + 1.314a + (1.314)^2a + (1.314)^3a + (1.314)^4a + (1.314)^5a + (1.314)^6a + (1.314)^7a = 1020

Теперь мы можем выразить a:

a(1 + 1.314 + (1.314)^2 + (1.314)^3 + (1.314)^4 + (1.314)^5 + (1.314)^6 + (1.314)^7) = 1020

a(1 + 1.314 + 1.727 + 2.268 + 2.975 + 3.91 + 5.128 + 6.731) = 1020

a(24.133) = 1020

a ≈ 42.295

Теперь у нас есть значение a и r, и мы можем найти четвертый член прогрессии (ар^3):

ar^3 ≈ (1.314)^3 * 42.295 ≈ 83.058

Итак, четвертый член данной геометрической прогрессии примерно равен 83.058.