Question

Знайдіть рiвняння горизонтальних дотичних до графіка функції f(x)=x⁴ - 4x²-8.​

Answer 1

$\displaystyle\mathsf{f(x)=x^4-4x^2-8}\\\displaystyle\mathsf{f'(x)=4x^3-8x}$

Дотична буде горизонтальною, якщо: $\displaystyle\mathsf{k=f'(x_{0} )=0}$, значить:

$\displaystyle\mathsf{f'(x)=0}\\\displaystyle\mathsf{4x^3-8x=0}\\\displaystyle\mathsf{4x(x^2-2)=0\;\;\;\;|:(4)}\\\displaystyle\mathsf{x(x^2-2)=0= > x_{1} =0;\;\;x_{2,3}= \pm\sqrt{2} . }\\\displaystyle\mathsf{f(0)=(0)^4-4*(0)^2-8=-8.}\\\displaystyle\mathsf{f(\sqrt{2} )=(\sqrt{2} )^4-4*(\sqrt{2} )^2-8=-12.}\\\displaystyle\mathsf{f(-\sqrt{2} )=(-\sqrt{2} )^4-4*(-\sqrt{2} )^2-8=-12.}$

Маємо рівняння горизонтальних дотичних:

$\displaystyle\mathsf{y_{1} =-8; \;\;\;y_{2} =-12.}$

Answer 2

Щоб знайти рівняння горизонтальних дотичних до графіка функції f(x) = x⁴ - 4x² - 8, спершу знайдемо похідну цієї функції.

f(x) = x⁴ - 4x² - 8

Для знаходження похідної від f(x) застосуємо правила похідної для кожного члена функції:

f'(x) = 4x³ - 8x

Тепер ми можемо знайти горизонтальні дотичні, які мають нахил 0, оскільки горизонтальні лінії мають нахил 0. Іншими словами, ми шукаємо точки, в яких f'(x) = 0.

4x³ - 8x = 0

Тепер розв'яжемо це рівняння для знаходження точок, в яких горизонтальні дотичні перетинають графік функції:

4x(x² - 2) = 0

Це рівняння має два розв'язки:

1. x = 0
2. x² - 2 = 0

Другий розв'язок x² - 2 = 0 дає нам x² = 2, або x = ±√2.

Таким чином, ми маємо три точки, в яких горизонтальні дотичні можуть перетинати графік функції: x = 0, x = √2 і x = -√2.

Тепер ми можемо знайти відповідні значення функції f(x) у цих точках:

1. f(0) = 0⁴ - 4(0)² - 8 = 0 - 0 - 8 = -8
2. f(√2) = (√2)⁴ - 4(√2)² - 8 = 2 - 8 - 8 = -14
3. f(-√2) = (-√2)⁴ - 4(-√2)² - 8 = 2 - 8 - 8 = -14

Отже, горизонтальні дотичні до графіка функції f(x) = x⁴ - 4x² - 8 в точках (0, -8), (√2, -14) і (-√2, -14) мають рівняння:

1. Для точки (0, -8): y = -8
2. Для точки (√2, -14): y = -14
3. Для точки (-√2, -14): y = -14

Отже, ці рівняння представляють горизонтальні дотичні до графіка функції відповідно до відповідних точок.