Question

Помогите решить 2xyy' = y^2+1

Answer 1

Ответ:

2хуу=у^2+1

у^2+145

у.=290

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода разделения переменных. Вот как это делается:

1. Начнем с уравнения: 2xyy' = y^2 + 1

2. Разделим обе стороны на (y^2 + 1): (2xyy') / (y^2 + 1) = 1

3. Теперь разделим переменные, перемещая все части, содержащие y, на одну сторону, а все части, содержащие x, на другую сторону: (2y dy) / (y^2 + 1) = (dx / x)

4. Разделим числитель и знаменатель левой стороны на 2: (y dy) / (y^2 + 1) = (dx / x)

5. Теперь проинтегрируем обе стороны по соответствующим переменным. Интегралы будут следующими:

   ∫(y dy) / (y^2 + 1) = ∫(dx / x)

6. Для левой стороны используем замену переменной. Для этого проведем следующую замену: u = y^2 + 1 du = 2y dy

   Тогда левая сторона становится: (1/2)∫(du / u) = ∫(dx / x)

7. Теперь интегрируем обе стороны:

   (1/2)ln|u| = ln|x| + C

   Где C - постоянная интеграции.

8. Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения:

   ln|u|^(1/2) = ln|x| + C

   |u|^(1/2) = |x| * e^C

9. Уберем модули и возведем обе стороны в квадрат:

   u^(1/2) = x * e^C

10. Заметим, что u = y^2 + 1, поэтому:

    (y^2 + 1)^(1/2) = x * e^C

11. Можно упростить выражение, избавившись от квадратного корня:

    y^2 + 1 = x * e^C

12. Теперь мы получили общее решение данного дифференциального уравнения. Вы можете определить значение постоянной C, используя начальные условия, если они даны, чтобы получить частное решение.