Question

Помните срочно пожалуйста!!! Решить систему уравнений: х²+у=6 у²+х=6

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}x^2+y=6\\y^2+x=6\end{array}\right;$

Поскольку правые части равны, можно приравнять левые:

$x^2+y=y^2+x\\x^2-y^2=x-y\\(x-y)(x+y)-(x-y)=0\\(x-y)(x+y-1)=0$

Произведение равно 0, когда хотя бы 1 из его множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла.

Тогда получим:

$\left[\begin{array}{c}x-y=0\\x+y-1=0\end{array}\right,\\\\\left[\begin{array}{c}y=x\\y=-x+1\end{array}\right;$

Здесь квадратная скобка - это совокупность. Она означает или.

То есть мы получили, что нужно рассмотреть 2 случая: y=x и y=-x+1.

$y=x:$

$x^2+x=6\\x^2+x-6=0$

Уравнение можно решить через дискриминант.

Однако в данном случае, я воспользуюсь теоремой Виета и угадаю корни: числа 2 и -3 (подробнее про т. Виета см. в других источниках).

Тогда получили пару чисел:

$(2;\;2),\;(-3;\;-3)$

Которые являются решением системы.

$y=-x+1:$

$x^2-x+1=6\\x^2-x-5=0$

В этом случае не получается подобрать целые корни, а значит надо попробовать искать их через дискриминант.

$D=1+20=21\\\sqrt{D}=\sqrt{21}$

$\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\\x=\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}\end{array}\right;$

Итого получим вторую часть ответа:

$\left(\dfrac{1-\sqrt{21}}{2};\;\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\right),\;\left(\dfrac{1+\sqrt{21}}{2};\;\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}\right)$

Если у Вас возник вопрос, откуда взялось второе число из скобок, то выше написано, что $y=-x+1$, то есть мы просто прибавили 1 к минус найденному иксу.

Система уравнений решена!

Answer 2

Давайте решим эту систему уравнений. Для этого мы можем воспользоваться методом подстановки или методом исключения. В данном случае, метод исключения кажется более эффективным.

У нас есть система уравнений:

1. $x^2 + y = 6$
2. $y^2 + x = 6$

Сначала выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 6 - y^2$ (1)

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$(6 - y^2)^2 + y = 6$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$36 - 12y^2 + y^4 + y = 6$

$y^4 - 12y^2 + y + 30 = 0$ (2)

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение относительно $y^2$. Обозначим $y^2$ как $z$:

$z^2 - 12z + 30 = 0$

Это квадратное уравнение может иметь два корня. Решим его, используя дискриминант:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(1)(30) = 144 - 120 = 24$.

Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 6 \pm \sqrt{6}$

Теперь вернемся к переменной $y^2$. У нас есть два возможных значения:

1. $y^2 = 6 + \sqrt{6}$
2. $y^2 = 6 - \sqrt{6}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

1. $y = \sqrt{6 + \sqrt{6}}$ или $y = -\sqrt{6 + \sqrt{6}}$
2. $y = \sqrt{6 - \sqrt{6}}$ или $y = -\sqrt{6 - \sqrt{6}}$

Далее, используя уравнение (1), найдем соответствующие значения $x$ для каждого из значений $y$:

1. Если $y = \sqrt{6 + \sqrt{6}}$:
   • $x = 6 - (6 + \sqrt{6}) = -\sqrt{6}$
2. Если $y = -\sqrt{6 + \sqrt{6}}$:
   • $x = 6 - (6 - \sqrt{6}) = \sqrt{6}$