Question

Объясните, пожалуйста, как решать x⁴-7x³+14x²-7x+1=0

Answer 1

Ответ:

$x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2},2\pm\sqrt{3}$

Объяснение:

Перед нами симметричное уравнение четвёртой степени, то есть уравнение вида $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Такое уравнение имеет стандартный алгоритм решения: делим на x² (x = 0 не является корнем уравнения, можно проверить подстановкой) и выделяем полный квадрат относительно $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$.

$x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0|:x^2\\x^2-7x+14-\dfrac{7}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\\x^2+\dfrac{1}{x^2}-7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+14=0$

Рассмотрим выражение $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$

Первые два слагаемых в полученном уравнении — это почти полный квадрат суммы, не хватает двойки. Прибавим её и отнимем:

$x^2+2+\dfrac{1}{x^2}-2-7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+14=0\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+12=0$

Сделаем замену $x+\dfrac{1}{x}=t$ и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2-7t+12=0$

По теореме Виета сумма корней равна 7, их произведение равно 12 — корни равны $t_1=3,t_2=4$.

$x+\dfrac{1}{x}=3|\cdot x\\x^2-3x+1=0\\D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=5\\x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ $x+\dfrac{1}{x}=4|\cdot x\\x^2-4x+1=0\\D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1=12\\x=\dfrac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt{3}$

Answer 2

Чтобы решить уравнение $x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 = 0$, давайте воспользуемся методом подстановки.

Попробуем подставить значение $x = 1$ в уравнение:

$1^4 - 7(1)^3 + 14(1)^2 - 7(1) + 1 = 1 - 7 + 14 - 7 + 1 = 2.$

Таким образом, $x = 1$ не является корнем уравнения.

Давайте теперь попробуем разложить левую часть уравнения на множители. Поскольку данное уравнение четвертой степени, в общем случае его разложение на множители может быть сложным. Мы можем воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти приближенные значения корней.

Если вы хотите попробовать решить уравнение численными методами, пожалуйста, дайте знать, и я могу помочь вам с более подробным объяснением этих методов.