Question

Найдите наименьшее значение выражения x^2+z^2, если 9z-7x=13

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$9z-7x=13,\;\Rightarrow z=\dfrac{13+7x}{9}$

$\Rightarrow\;f(x)=x^2+\left(\dfrac{13+7x}{9}\right)^2=\dfrac{130}{81}x^2+\dfrac{182}{81}x+\dfrac{169}{81}$

$f(x)$ - парабола

$\Rightarrow\;x_{min}=\dfrac{-\dfrac{182}{81}}{2\cdot\dfrac{130}{81}}=-\dfrac{7}{10},\;\Rightarrow\;z_{min}=\dfrac{13+7\cdot\left(-\dfrac{7}{10}\right)}{9}=\dfrac{9}{10}$

Тогда $S_{min}=\left(-\dfrac{7}{10}\right)^2+\left(\dfrac{9}{10}\right)^2=\dfrac{13}{10}$

Задание выполнено!

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения x^2 + z^2 при условии 9z - 7x = 13, можно воспользоваться методом подстановки или методом нахождения минимума функции. Мы можем решить систему уравнений:

1. 9z - 7x = 13
2. Выразим одну из переменных из уравнения (1), например, z: z = (7x + 13) / 9

Теперь мы можем подставить это выражение для z в выражение x^2 + z^2:

x^2 + ((7x + 13) / 9)^2

Это выражение можно рассматривать как функцию одной переменной x. Чтобы найти минимум этой функции, мы можем взять производную по x, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение:

d/dx [x^2 + ((7x + 13) / 9)^2] = 0

Далее, найдем производную и приравняем к нулю:

2x + 2 * (7x + 13) * (1/9)^2 = 0

Упростим уравнение:

2x + 2 * (7x + 13) * (1/81) = 0

Умножим оба слагаемых на 81 для избавления от дроби:

162x + 2 * (7x + 13) = 0

Раскроем скобки:

162x + 14x + 26 = 0

Сгруппируем слагаемые с x:

176x + 26 = 0

Теперь выразим x:

176x = -26

x = -26 / 176

x = -13 / 88

Теперь, чтобы найти значение z, подставим x обратно в уравнение (1):

9z - 7 * (-13 / 88) = 13

9z + 91/88 = 13

9z = 13 - 91/88

9z = (1144/88) - (91/88)

9z = (1053/88)

z = (1053/88) / 9

z = (1053/88) * (1/9)

z = (1053/88) * (1/9)

z = 117/88

Теперь мы нашли значения x и z, которые удовлетворяют обоим уравнениям и минимизируют выражение x^2 + z^2. Теперь мы можем найти значение этого выражения:

x^2 + z^2 = ((-13/88)^2) + ((117/88)^2)

x^2 + z^2 ≈ 0.026 + 1.578

x^2 + z^2 ≈ 1.604

Итак, наименьшее значение выражения x^2 + z^2 при условии 9z - 7x = 13 равно примерно 1.604.