Question

Знайти точки мінімуму і максимуму функції f(x)=16x-x³

Answer 1

Ответ:

Щоб знайти точки мінімуму і максимуму функції f(x)=16x-x³, потрібно знайти її похідну та розв'язати рівняння f'(x)=0:

1. Знаходимо похідну: f'(x) = 16-3x²

2. Розв'язуємо рівняння f'(x) = 0: 16-3x²=0

3. Переносимо усі доданки в ліву частину: -3x²+16=0

4. Ділимо обидві частини на -3: x²-16/3=0

5. Витягуємо корінь з обох частин: x=±√(16/3)

Отже, функція має дві критичні точки: x1=-√(16/3) та x2=√(16/3). Щоб з'ясувати, яка з них є точкою максимуму, а яка - мінімуму, можна скористатися другою похідною:

1. Знаходимо другу похідну: f''(x) = -6x

2. Перевіряємо знак другої похідної в критичних точках: f''(-√(16/3)) = 6√(16/3) > 0; f''(√(16/3)) = -6√(16/3) < 0

Оскільки друга похідна додатня в точці x1=-√(16/3), то це точка мінімуму. А друга похідна від'ємна в точці x2=√(16/3), то це точка максимуму.

Отже, функція f(x)=16x-x³ має точку максимуму в точці x=√(16/3) та точку мінімуму в точці x=-√(16/3).

Answer 2

Щоб знайти точки мінімуму і максимуму функції $f(x) = 16x - x^3$, спершу знайдемо похідну цієї функції та знайдемо її нулі. Нулі похідної будуть точками, де можливі екстремуми (мінімуми або максимуми) функції $f(x)$. Похідна функції $f(x)$ обчислюється так:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(16x - x^3)$

$f'(x) = 16 - 3x^2$

Тепер знайдемо нулі похідної $f'(x)$, розв'язавши рівняння $16 - 3x^2 = 0$:

$16 - 3x^2 = 0$

Додамо $3x^2$ обидві сторони:

$3x^2 = 16$

Розділимо обидві сторони на 3:

$x^2 = \frac{16}{3}$

Візьмемо квадратний корінь з обох сторін:

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Отже, ми маємо два значення $x$: $x_1 = \sqrt{\frac{16}{3}}$ і $x_2 = -\sqrt{\frac{16}{3}}$.

Тепер, щоб знайти відповідні значення $f(x)$ для цих $x$, підставимо їх назад у вихідну функцію $f(x)$:

Для $x = \sqrt{\frac{16}{3}}$:

$f\left(\sqrt{\frac{16}{3}}\right) = 16\left(\sqrt{\frac{16}{3}}\right) - \left(\sqrt{\frac{16}{3}}\right)^3$

Для $x = -\sqrt{\frac{16}{3}}$:

$f\left(-\sqrt{\frac{16}{3}}\right) = 16\left(-\sqrt{\frac{16}{3}}\right) - \left(-\sqrt{\frac{16}{3}}\right)^3$

Обчислімо ці значення:

Для $x = \sqrt{\frac{16}{3}}$:

$f\left(\sqrt{\frac{16}{3}}\right) = \frac{16}{\sqrt{3}} - \frac{16}{\sqrt{3}} = 0$

Для