Question

2) tg*a + ctg*a + tg * 3a + ctg * 3a = (8cos^2 2 * a)/(sin 6a) ;​ нужно доказать что они равны

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$></p> <p><img src=$

Доказано

Answer 2

Давайте попробуем доказать данное уравнение шаг за шагом. Исходное уравнение выглядит следующим образом:

tg(a) + ctg(a) + tg(3a) + ctg(3a) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Для начала, давайте выразим tg(3a) и ctg(3a) через tg(a) и ctg(a) с использованием тригонометрических тождеств:

tg(3a) = (3tg(a) - tg^3(a)) / (1 - 3tg^2(a))

ctg(3a) = (ctg^3(a) - 3ctg(a)) / (1 - 3ctg^2(a))

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

tg(a) + ctg(a) + (3tg(a) - tg^3(a)) / (1 - 3tg^2(a)) + (ctg^3(a) - 3ctg(a)) / (1 - 3ctg^2(a)) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Далее, мы можем привести все дроби к общему знаменателю (1 - 3tg^2(a))(1 - 3ctg^2(a)):

(tg(a)(1 - 3ctg^2(a)) + ctg(a)(1 - 3tg^2(a)) + 3tg(a)(1 - 3ctg^2(a)) - tg^3(a)(1 - 3ctg^2(a)) + ctg^3(a)(1 - 3tg^2(a)) - 3ctg(a)(1 - 3tg^2(a))) / ((1 - 3tg^2(a))(1 - 3ctg^2(a))) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Теперь давайте упростим числитель и знаменатель:

(tg(a) - 3ctg(a)tg^2(a) + ctg(a) - 3ctg^3(a) + 3tg(a) - 9tg^3(a)ctg^2(a) - tg^3(a) + 3tg^5(a)ctg^2(a) + ctg^3(a) - 3tg^2(a)ctg^3(a)) / ((1 - 3tg^2(a))(1 - 3ctg^2(a))) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Теперь давайте объединим подобные члены в числителе:

(3tg(a) + ctg(a) - 4ctg^3(a) + 3tg(a) - 9tg^3(a)ctg^2(a) - tg^3(a) + 3tg^5(a)ctg^2(a) + ctg^3(a) - 3tg^2(a)ctg^3(a)) / ((1 - 3tg^2(a))(1 - 3ctg^2(a))) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Теперь упростим числитель еще больше:

(6tg(a) - 3tg^3(a) + ctg(a) - 4ctg^3(a) + 3tg^5(a)ctg^2(a) - 3tg^2(a)ctg^3(a)) / ((1 - 3tg^2(a))(1 - 3ctg^2(a))) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Теперь мы можем заметить, что 3tg^5(a)ctg^2(a) и -3tg^2(a)ctg^3(a) имеют общий множитель 3tg^2(a)ctg^2(a), который можно вынести за скобки:

(6tg(a) - 3tg^3(a) + ctg(a) - 4ctg^3(a) + 3tg^2(a)ctg^2(a)(tg^3(a) - 1)) / ((1 - 3tg^2(a))(1 - 3ctg^2(a))) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Теперь заметим, что tg^3(a) - 1 = (tg(a) - 1)(tg^2(a) + tg(a) + 1), и подставим это выражение:

(6tg(a) - 3tg^3(a) + ctg(a) - 4ctg^3(a) + 3tg^2(a)ctg^2(a)(tg(a) - 1)(tg^2(a) + tg(a) + 1)) / ((1 - 3tg^2(a))(1 - 3ctg^2(a))) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Теперь можно заметить, что в числителе и знаменателе есть множители (tg(a) - 1) и (1 - 3tg^2(a)), которые можно сократить:

(6 - 3tg^2(a) + ctg(a) - 4ctg^3(a) + 3ctg^2(a)(tg^2(a) + tg(a) + 1)) / (1 - 3tg^2(a)) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Теперь давайте упростим числитель:

(6 - 3tg^2(a) + ctg(a) - 4ctg^3(a) + 3ctg^2(a)(tg^2(a) + tg(a) + 1)) = (6 - 3tg^2(a) + ctg(a) - 4ctg^3(a) + 3ctg^4(a) + 3ctg^3(a) + 3ctg^2(a)) = 6 + ctg(a) = 6 + 1/tg(a)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

(6 + 1/tg(a)) / (1 - 3tg^2(a)) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Далее, можно упростить знаменатель в левой части уравнения, умножив его на (1 + 3tg^2(a)):

(6 + 1/tg(a)) / (1 - 3tg^2(a)) * (1 + 3tg^2(a)) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Теперь у нас есть:

(6 + 1/tg(a)) * (1 + 3tg^2(a)) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Раскроем скобки:

6 + 18tg^2(a) + 1 + 3tg^2(a) = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Упростим левую сторону:

25tg^2(a) + 7 = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной tg(a), и его можно решить. Однако важно помнить, что в зависимости от значения a, tg(a) может иметь разные значения, и уравнение может иметь разные корни.

Таким образом, уравнение

25tg^2(a) + 7 = (8cos^2(2a)) / sin(6a)

может быть верным для определенных значений a, но не обязательно для всех значений a. Для доказательства равенства уравнения вам нужно будет найти конкретные значения a, для которых оно верно, и доказать это путем подстановки и вычислений.