Question

1. знайти в градусах кут Ф між векторами c (-7;15;8) і d(16;1;-9) 2.Яка площа S трикутника з вершинами A(-1;-1;4),B(1;2;0),С(-5;-3;8) 3.Обчислити обэм V піраміди з вершинами в точках : A (4;5;6) B ( 3;2;4) C (4;4;2) D (-2;-7;12) 4.Дано : |A| =15, |b|=16, |a+b|=29, Oбчислити |a-b|

Answer 1

Ответ:

1. Використовуючи формулу cos(φ) = (c,d) / (|c|* |d|), де (c,d) - скалярний добуток векторів c і d, |c| і |d| - їхні довжини, отримуємо:

cos(φ) = (-7*16 + 15*1 + 8*(-9)) / (sqrt((-7)^2 + 15^2 + 8^2) * sqrt(16^2 + 1^2 + (-9)^2)) ≈ -0.822

φ ≈ arccos(-0.822) ≈ 145.35°

Отже, кут між векторами c і d становить близько 145.35 градусів.

2. Площа S трикутника може бути обчислена за допомогою формули Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), де a, b і c - довжини сторін трикутника, а p = (a+b+c) / 2 - напівпериметр.

Знайдемо довжини сторін трикутника:

AB = √((1-(-1))^2 + (2-(-1))^2 + (0-4)^2) ≈ 3.74

BC = √((-5-1)^2 + (-3-2)^2 + (8-0)^2) ≈ 11.22

CA = √((-5-(-1))^2 + (-3-(-1))^2 + (8-4)^2) ≈ 7.81

Знаходимо напівпериметр: p = (3.74 + 11.22 + 7.81) / 2 ≈ 11.39

Обчислюємо площу трикутника: S = √(11.39*(11.39-3.74)*(11.39-11.22)*(11.39-7.81)) ≈ 19.43

Отже, площа трикутника складає близько 19.43 квадратних одиниць.

3. Об'єм піраміди можна обчислити, використовуючи формулу V = (1/3) * S * h, де S - площа основи піраміди, а h - її висота.

Спочатку знайдемо площу основи піраміди. Оскільки у піраміди ABCD основа - прямокутник ABCD, то її площа дорівнює площі прямокутника ABDC: S осн = |AB| * |AD| = √(2^2 + 3^2 + (-4)^2) * √(6^2 + (-3)^2 + 2^2) ≈ 72.07

Щоб знайти висоту піраміди, можна, наприклад, скористатися рівнянням площі трикутника:

S біч = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(φ), де φ - кут між векторами AB і AC.

Знайдемо кут між векторами AB і AC:

cos(φ) = (AB,AC) / (|AB| * |AC|) = ((3-(-1)) * (2-5) + (0-4) * (3-(-1)) + ((-5)-1) * ((-3)-(-7))) / (3.74 * 9.11) ≈ -0.422

φ ≈ arccos(-0.422) ≈ 115.57°

Тоді sin(φ) = √(1 - cos^2(φ)) ≈ 0.907

Тепер можемо обчислити висоту піраміди: h = S біч / (1/2 * |AB|) ≈ 9.98

Остаточно, об'єм піраміди дорівнює V = (1/3) * S осн * h ≈ 240.22

Отже, об'єм піраміди становить близько 240.22 кубічних одиниць.

4. Використовуючи теорему косинусів, можна отримати наступну рівність:

|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cos(φ), де φ - кут між векторами a і b.

Відомо, що |a| = 15, |b| = 16 і |a+b| = 29. Тоді можна записати рівності:

|a+b|^2 = |a|^2 + 2|a||b|cos(φ) + |b|^2

29^2 = 15^2 + 2*15*16*cos(φ) + 16^2

Вирішуючи це рівняння відносно cos(φ), отримуємо:

cos(φ) = (29^2 - 15^2 - 16^2) / (2*15*16) ≈ 0.392

Тепер знову застосовуємо теорему косинусів:

|a-b|^2 = 15^2 + 16^2 - 2*15*16*cos(φ) ≈ 842.72

Отже, |a-b| ≈ √842.72 ≈ 29.02.

Answer 2

1. Знайдення кута між векторами:

   Використовуючи формулу для кута між двома векторами $\cos \theta = \frac{{\mathbf{c} \cdot \mathbf{d}}}{{|\mathbf{c}| |\mathbf{d}|}}$, де $\mathbf{c}$ і $\mathbf{d}$ - це вектори, можна підставити значення:

   $\cos \theta = \frac{{(-7)(16) + (15)(1) + (8)(-9)}}{{\sqrt{(-7)^2 + (15)^2 + (8)^2} \times \sqrt{(16)^2 + (1)^2 + (-9)^2}}}$

   Розрахунком отримуємо значення $\cos \theta$, а потім можна знайти кут $\theta$ використовуючи обернений косинус (арккосинус) цього значення.

2. Знаходження площі трикутника:

   Використовуючи формулу площі трикутника за координатами вершин $S = \frac{1}{2} |\mathbf{AB} \times \mathbf{AC}|$, де $\mathbf{AB}$ і $\mathbf{AC}$ - вектори, можна взяти їхні кросс-продукти та знайти модуль результату.

3. Обчислення об'єму піраміди:

   Об'єм піраміди можна знайти використовуючи формулу об'єму піраміди за чотирма точками $V = \frac{1}{3} \times |\mathbf{AB} \cdot (\mathbf{AC} \times \mathbf{AD})|$, де $\mathbf{AB}$, $\mathbf{AC}$ і $\mathbf{AD}$ - вектори.

4. Обчислення модулю віднімання векторів:

   Модуль віднімання двох векторів $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$ можна знайти використовуючи формулу $|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{(\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b})}$. Розкривши дотичний добуток і взявши його корінь, отримаєте результат.

Будь ласка, зверніть увагу, що ці обчислення можуть бути трошки складними для виконання вручну через велику кількість кроків та арифметичних операцій. Я рекомендую використовувати калькулятор або програмне забезпечення для математичних обчислень для точних результатів.