Question

Решите систему неравенств 5x²-9x+4>0,2x+3≥0​

Answer 1

Для решения этой системы неравенств сначала найдем корни квадратного трехчлена 5x^2 - 9x + 4 = 0:
5x^2 - 9x + 4 = 0
(5x - 4)(x - 1) = 0
x = 4/5 или x = 1

Таким образом, мы можем разбить числовую прямую на три интервала: x < 4/5, 4/5 < x < 1 и x > 1.

Рассмотрим каждый интервал по отдельности:

x < 4/5:
5x^2 - 9x + 4 < 0
(5x - 4)(x - 1) < 0
Для x < 4/5:
(5x - 4) < 0 и (x - 1) > 0
x < 4/5 или x > 1
Также для x < 4/5:
2x + 320 < 0
x < -160
Итак, решение на этом интервале: x < -160.
4/5 < x < 1:
5x^2 - 9x + 4 > 0
(5x - 4)(x - 1) > 0
Для 4/5 < x < 1:
(5x - 4) > 0 и (x - 1) < 0
4/5 < x < 1
Также для 4/5 < x < 1:
2x + 320 > 0
x > -160
Итак, решение на этом интервале: -160 < x < 1.
x > 1:
5x^2 - 9x + 4 < 0
(5x - 4)(x - 1) < 0
Для x > 1:
(5x - 4) > 0 и (x - 1) > 0
x > 4/5
Также для x > 1:
2x + 320 > 0
x > -160
Итак, решение на этом интервале: x > 4/5.
Итак, решением системы неравенств является:

x < -160 или -160 < x < 1 или x > 4/5.

Answer 2

Для решения данной системы неравенств нужно найти значения переменной x, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Давайте начнем с первого неравенства:

1. $5x^2 - 9x + 4 > 0$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 9x + 4 = 0$. Мы можем использовать квадратное уравнение:

$5x^2 - 9x + 4 = 0$

Для нахождения корней, мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Где $a = 5$, $b = -9$, и $c = 4$. Теперь вычислим дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$

Дискриминант положителен ($D > 0$), что означает, что у нас есть два различных корня:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 1}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{9 - 1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Теперь, когда у нас есть корни, мы можем использовать их, чтобы разбить интервалы на отрезки и определить знак выражения $5x^2 - 9x + 4$ на каждом из этих отрезков.

Отрезок 1: $-\infty < x < \frac{4}{5}$ На этом отрезке $5x^2 - 9x + 4 > 0$, так как $x$ находится между корнями $x_1$ и $x_2$.

Отрезок 2: $\frac{4}{5} < x < 1$ На этом отрезке $5x^2 - 9x + 4 > 0$, так как $x$ находится за пределами корней $x_1$ и $x_2$.

Отрезок 3: $x > 1$ На этом отрезке $5x^2 - 9x + 4 > 0$, так как $x$ больше обоих корней.

Теперь перейдем ко второму неравенству:

2. $2x + 3 \geq 0$

Чтобы найти значения $x$, удовлетворяющие этому неравенству, решим его:

$2x + 3 \geq 0$

Вычитаем 3 из обеих сторон:

$2x \geq -3$

Теперь делим обе стороны на 2:

$x \geq -\frac{3}{2}$

Теперь у нас есть два неравенства:

1. $x < \frac{4}{5}$ (из первого неравенства)
2. $x \geq -\frac{3}{2}$ (из второго неравенства)

Чтобы найти пересечение этих интервалов, возьмем максимальное значение из интервала 2 и минимальное значение из интервала 1:

$x \geq \max\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{2}\right)$

Максимальное значение из $\frac{4}{5}$ и $-\frac{3}{2}$