Question

Площа прямокутного трикутника дорівнює 9 кв.см. Якою повинна бути гіпотенуза цього трикутника, щоб сума його катетів була найменшою?

Answer 1

Прямокутний трикутник складається з катетів (сторін, що прилягають до прямого кута) та гіпотенузи (найбільшої сторони, що лежить напроти прямого кута). За теоремою Піфагора, квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

c² = a² + b²

де c - гіпотенуза, a і b - катети.

Треба знайти таке значення c, при якому сума a і b буде мінімальною. Можна використати метод диференційованого обчислення, або скористатися властивістю трикутника, що сума довжин будь-яких двох його сторін завжди більша за довжину третьої сторони. Оскільки у нашому випадку сторони - катети, то їх сума завжди буде меншою за гіпотенузу. Тому, щоб знайти мінімальну суму катетів, потрібно зробити гіпотенузу якомога меншою.

Площа прямокутного трикутника дорівнює 9 кв.см. Так як трикутник прямокутний, то площа може бути знайдена як половина добутку довжини його катетів:

S = (ab)/2 = 9

ab = 18

Ми можемо застосувати нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним, щоб отримати оцінку на максимальне значення гіпотенузи:

c = √(a² + b²) ≥ (a+b)/√2

c ≥ (a+b)/√2 = 2√(ab)/√2 = 2√(ab) = 2√18 ≈ 8.49

Отже, гіпотенуза повинна бути не менше 8.49 см. Для досягнення мінімальної суми катетів, гіпотенузу потрібно зробити саме 8.49 см.

Answer 2

Для знаходження гіпотенузи прямокутного трикутника так, щоб сума його катетів була найменшою, ми можемо використовувати підхід з використанням похідних. Давайте позначимо один з катетів як x, інший катет як y, а гіпотенузу як z. Ми знаємо, що площа трикутника дорівнює 9 кв.см:

xy/2 = 9.

Ми хочемо знайти z так, щоб сума катетів (x + y) була найменшою. Для цього ми можемо виразити один з катетів (наприклад, y) через інший та гіпотенузу:

y = 18/x.

Тепер ми можемо знайти суму катетів як функцію від x:

S(x) = x + 18/x.

Для знаходження мінімуму цієї функції, візьмемо її похідну та прирівняємо до нуля:

S'(x) = 1 - 18/x^2 = 0.

Тепер розв'яжемо це рівняння для x:

1 - 18/x^2 = 0 18/x^2 = 1 x^2 = 18 x = √18 x = 3√2.

Отже, один з катетів дорівнює 3√2. Тепер ми можемо знайти інший катет за допомогою виразу y = 18/x:

y = 18/(3√2) = 6√2.

Тепер ми знаємо обидва катети: x = 3√2 та y = 6√2. Щоб знайти гіпотенузу z, використовуйте теорему Піфагора:

z^2 = x^2 + y^2 = (3√2)^2 + (6√2)^2 = 18 + 72 = 90.

Отже, гіпотенуза цього трикутника дорівнює √90, що можна спростити:

z = √(9 * 10) = 3√10.

Отже, гіпотенуза цього прямокутного трикутника, при якій сума катетів є найменшою, дорівнює 3√10.