Question

Знайти проміжки зростання і спадання функції: f(x)=x³-3x²

Answer 1

Объяснение:

Щоб знайти похідну функції f(x) = x³ - 3x², ми повинні застосувати правило диференціювання суми та різниці функцій:

f'(x) = 3x² - 6x.

Тепер ми можемо знайти критичні точки, тобто ті значення x, де f'(x) = 0 або f'(x) не існує.

f'(x) = 0 при x = 0 або x = 2.

Таким чином, критичні точки - це x = 0 та x = 2.

Тепер, щоб знайти проміжки зростання та спадання, нам потрібно вивчити знак похідної на кожному з цих проміжків.

Коли x < 0, f'(x) < 0, тобто функція f(x) спадає.

Коли 0 < x < 2, f'(x) > 0, тобто функція f(x) зростає.

Коли x > 2, f'(x) < 0, тобто функція f(x) спадає.

Отже, функція f(x) зростає на проміжку (0, 2), а спадає на проміжках (-∞, 0) та (2, +∞). Якщо у вас є додаткові запитання щодо цієї теми, я з радістю допоможу вам.

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції $f(x) = x^3 - 3x^2$, спершу треба знайти похідну цієї функції та знайти точки, в яких похідна дорівнює нулю. В таких точках функція може змінювати свій напрямок (зростання або спадання).

Похідна функції $f(x)$ обчислюється так:

$f'(x) = 3x^2 - 6x$.

Тепер знайдемо точки, в яких $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 6x = 0$.

Ділимо обидві сторони на 3:

$x^2 - 2x = 0$.

Факторизуємо ліву сторону:

$x(x - 2) = 0$.

З цього рівняння ми бачимо, що $x = 0$ або $x = 2$. Отже, точки $x = 0$ і $x = 2$ - це точки, в яких похідна $f'(x)$ дорівнює нулю.

Тепер перевіримо значення похідної $f'(x)$ в інших проміжках між цими точками, а саме:

1. Візьмемо $x < 0$, наприклад, $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$. Тут $f'(x)$ додатня, отже, функція $f(x)$ зростає на цьому проміжку.

2. Візьмемо $0 < x < 2$, наприклад, $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$. Тут $f'(x)$ від'ємна, отже, функція $f(x)$ спадає на цьому проміжку.

3. Візьмемо $x > 2$, наприклад, $x = 3$: $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$. І тут $f'(x)$ додатня, отже, функція $f(x)$ зростає на цьому проміжку.

Таким чином, ми можемо зробити висновок:

• Функція $f(x)$ зростає на проміжку $(-\infty, 0)$ та $(2, \infty)$.
• Функція $f(x)$ спадає на проміжку $(0, 2)$.