Question

1. Розв’яжіть нерівність 2log₀,₇x≥log₀,₇(9 − 8x) 2. Дослідіть функцію f(x) =x³−2x²+2 та побудуйте її графік 3. На чотирьох картках записано числа 3, 4, 5 і 6. Яка ймовірність того, що добуток чисел, записаних на двох навмання вибраних картках, буде парним числом?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

2log(0.7 ; x) ≥ log(0.7 ;(9-8x)

log(0.7 ; x²) ≥ log(0.7 ;(9-8x)

Перейдем к эквивалентному неравенству без логарифма.

Из-за того, что основание логарифма =0.7 <1  знак неравенства поменяется на противоположный.

x²≤ 9-8x

x²+8x-9≤0

По теореме Виета корни уравнения x²+8x-9=0

х1= -9 х2=1

Тогда решения неравенства

х ∈ [-9;1]

3. Всего возможных вариантов выбора из 4-х карточек по 2будет

С(4;2)= 4!/(2!*2!) =6

Неблагоприятных для нужного события вариантов только 1-

если будут выбраны картки 2 и  5 . Во всех остальных случаях будет выбрана хлтя бы 1 картка с четным числом, а значит произведение чисел буде парным ( четным) числом.

Т.е. благоприятных событию "произведение 2-х чисел четное число" вариантов будет 6-1=5.

Тогда вероятность  "произведение 2-х чисел четное число"

Р=5/6

Answer 2

1. Розв'яжемо нерівність 2log₀,₇x ≥ log₀,₇(9 - 8x).

Спочатку застосуємо властивості логарифмів: 2log₀,₇x = log₀,₇x².

Отже, ми маємо: log₀,₇x² ≥ log₀,₇(9 - 8x).

Тепер врахуємо, що логарифми з однаковою основою рівні, якщо їх аргументи рівні: x² ≥ 9 - 8x.

Перенесемо всі члени на одну сторону нерівності: x² + 8x - 9 ≥ 0.

Тепер ми можемо розв'язати цю квадратну нерівність. Спочатку факторизуємо її: (x + 9)(x - 1) ≥ 0.

Тепер визначимо знаки виразу на кожному інтервалі між коренями:

1. x < -9: обидва добутки від'ємні, отже, нерівність виконується.
2. -9 < x < 1: перший добуток від'ємний, а другий - додатний, отже, нерівність не виконується.
3. x > 1: обидва добутки додатні, отже, нерівність виконується.

Отже, розв'язком нерівності є: x ∈ (-∞, -9] ∪ (1, +∞).

2. Дослідимо функцію f(x) = x³ - 2x² + 2 та побудуймо її графік.

Для дослідження функції визначимо її похідну та знайдемо точки екстремумів та інфлексії.

f'(x) = 3x² - 4x.

Тепер знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю: 3x² - 4x = 0.

Факторизуємо: x(3x - 4) = 0.

З цього маємо дві точки:

1. x = 0.
2. 3x - 4 = 0 => 3x = 4 => x = 4/3.

Тепер визначимо знаки похідної на інтервалах:

1. x < 0: f'(x) < 0 (від'ємна похідна).
2. 0 < x < 4/3: f'(x) > 0 (додатня похідна).
3. x > 4/3: f'(x) > 0 (додатня похідна).

Таким чином, у точці x = 0 маємо локальний максимум, а у точці x = 4/3 - локальний мінімум.

Тепер знайдемо значення функції в цих точках: f(0) = 0³ - 20² + 2 = 2, f(4/3) = (4/3)³ - 2(4/3)² + 2.

Тепер ми можемо побудувати графік функції f(x):

• Локальний максимум у точці (0, 2).
• Локальний мінімум у точці (4/3, f(4/3)).
• Функція зростає на інтервалах (-∞, 0) і (4/3, +∞) і спадає на інтервалі (0, 4/3).

3. Щоб знайти ймовірність того, що добуток чисел, записаних на двох навмання вибраних картках, буде парним числом, давайте розглянемо всі можливі варіанти:

На першій картці може бути 4 або 6 (парні числа), і на другій картці також може бути 4 або 6.

Отже, всього є 4 можливих комбінації:

1. Перша картка - 4, друга картка - 4.
2. Перша картка - 4, друга картка - 6.
3. Перша картка - 6, друга картка - 4.
4. Перша картка - 6, друга картка - 6.

З них 3 комбінації мають парний добуток (перше і третє), тому ймовірність парного добутку чисел дорівнює 3/4 або 75%.