Question

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції f(x)=15x³-x⁵​

Answer 1

Ми знаємо, що точки екстремуму функції - це точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Знайдемо похідну функції:

f'(x) = 45x² - 5x⁴

Для знаходження точок екстремуму розв'яжемо рівняння f'(x) = 0:

45x² - 5x⁴ = 0

5x²(9 - x²) = 0

Отримали два корені: x₁ = 0 та x₂ = √9 = 3.

Так як похідна f'(x) являє собою параболу зі старшим коефіцієнтом, який додатній (45), то ми бачимо, що функція зростає до точки Х1, потім спадає до точки Х2, і знову зростає після точки Х₂. Отже, максимум функції досягається в точці Х₁ = 0 і становить f(0) = 0, а мінімум функції досягається в точці Х₂ = 3 і становить f(3) = 405.

Отже, точки екстремуму цієї функції: (0,0) - максимум і (3,405) - мінімум.

Answer 2

Для знаходження точок екстремуму функції $f(x) = 15x^3 - x^5$, спершу знайдемо похідну функції $f(x)$ за $x$ і прирівняємо її до нуля, оскільки точки екстремуму відповідають нулям похідної функції.

1. Знаходимо похідну функції $f(x)$ за $x$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(15x^3 - x^5)$

Для знаходження похідної застосуємо правило диференціювання степеневої функції та константи: $f'(x) = 45x^2 - 5x^4$

2. Прирівнюємо похідну до нуля та розв'язуємо рівняння: $45x^2 - 5x^4 = 0$

Ділимо обидві сторони на $5x^2$: $9 - x^2 = 0$

3. Розв'язуємо це квадратне рівняння для $x$: $x^2 = 9$

Виразимо $x$: $x = \pm 3$

Тепер маємо дві можливі точки екстремуму: $x = -3$ і $x = 3$. Щоб з'ясувати, чи це максимуми чи мінімуми, можемо використовувати другу похідну та тест на екстремум.

4. Знайдемо другу похідну $f''(x)$: $f''(x) = \frac{d}{dx}(45x^2 - 5x^4)$

Диференціюємо функцію $f'(x)$: $f''(x) = 90x + 20x^3$

5. Підставимо значення $x$ з рівняння $x = -3$ і $x = 3$ в другу похідну: $f''(-3) = 90(-3) + 20(-3)^3 = -270 - 180 = -450$ $f''(3) = 90(3) + 20(3)^3 = 270 + 180 = 450$

Якщо $f''(x) < 0$, то це максимум, і якщо $f''(x) > 0$, то це мінімум. Знаходячи значення $f''(-3)$ і $f''(3)$, ми бачимо, що:

• Для $x = -3$, $f''(-3) = -450 < 0$, отже, це максимум.
• Для $x = 3$, $f''(3) = 450 > 0$, отже, це мінімум.

Отже, у функції $f(x)$ є точка максимуму при $x = -3$ і точка мінімуму при $x = 3$. Їх відповідні значення $f(-3)$ і $f(3)$ дають значення функції в цих точках.