Question

Написать уравнение плоскости. проходящей через три точки А(1;-2;3), В(0;-1;2),С (3;4;5). укажи вектор, перпендикулярный плоскости

Answer 1

Ответ:

Уравнение плоскости , проходящей через три точки:

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_0&y-y_0&z-z_0\\x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\\x_2-x_0&y_2-y_0&z_2-z_0\end{array}\right|=0$  

Точки  $\bf A(1;-2;3)\ ,\ \ B(0;-1;2)\ ,\ \ C(3;4;5)$  

$\bf \left|\begin{array}{ccc}x-1&y+2&z-3\\0-1&-1+2&2-3\\3-1&4+2&5-3\end{array}\right|=0\ \ \ \left|\begin{array}{ccc}x-1&y+2&z-3\\-1&1&-1\\2&6&2\end{array}\right|=0$  

Раскроем определитель по 1 строке .

$\bf (x-1)(2+6)-(y+2)(-2+2)+(z-3)(-6-2)=0\\\\8(x-1)-8(z-3)=0\\\\x-1-z+3=0\\\\\boxed{\bf \ x-z+2=0\ }$          

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки A(1;-2;3), B(0;-1;2) и C(3;4;5), мы можем воспользоваться методом нахождения нормального вектора к этой плоскости и уравнения плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - координаты нормального вектора, а D - свободный член.

1. Найдем два вектора, лежащих в плоскости, например, вектор AB и вектор AC:

   Вектор AB = B - A = (0 - 1, -1 - (-2), 2 - 3) = (-1, 1, -1) Вектор AC = C - A = (3 - 1, 4 - (-2), 5 - 3) = (2, 6, 2)

2. Теперь найдем нормальный вектор к плоскости, который будет перпендикулярен этой плоскости. Это можно сделать, найдя векторное произведение векторов AB и AC:

   Нормальный вектор N = AB x AC

   Для вычисления векторного произведения векторов, найдем его координаты:

   N_x = (1 * 2) - (-1 * 6) = 2 + 6 = 8 N_y = (-1 * 2) - (-1 * 2) = -2 + 2 = 0 N_z = (-1 * 2) - (1 * 6) = -2 - 6 = -8

   Таким образом, нормальный вектор N равен (8, 0, -8).

3. Теперь мы можем записать уравнение плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0, подставив координаты нормального вектора:

   8x + 0y - 8z + D = 0

4. Чтобы найти D, подставим координаты любой из точек, например, точки A(1;-2;3):

   8 * 1 + 0 * (-2) - 8 * 3 + D = 0 8 - 24 + D = 0 -16 + D = 0 D = 16

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;-2;3), B(0;-1;2) и C(3;4;5), будет:

8x - 8z + 16 = 0

Теперь мы также можем найти вектор, перпендикулярный этой плоскости. Это нормальный вектор N, который мы уже нашли:

N = (8, 0, -8)

Этот вектор будет перпендикулярен плоскости.