Question

Известно, что sinx+siny=1/2, cosx+cosy=1/3. Найдите sin(x+y).​

Answer 1

Ответ:

sin(x+y)=+-3√13/13

Объяснение:

sinx+siny=2sin(x+y)/2*cos(x-y)/2=1/2

cosx+cosy=2cos(x+y)/2*cos(x-y)/2=1/3

(1/2)/(1/3)=tg(x+y)/2

tg(x+y)/2=sin(x+y)/(1+cos(x+y))

sin(x+y)=t

cos(x+y)=√(1-t²)

3/2=t/√(1-t²)

13t²=9

t=±3√13/13

Answer 2

Для нахождения sin(x+y) из данных уравнений можно воспользоваться тригонометрическими идентичностями и методом замены переменных.

Известно:

1. sin(x) + sin(y) = 1/2
2. cos(x) + cos(y) = 1/3

Теперь воспользуемся следующими тригонометрическими идентичностями:

1. sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
2. cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 2cos^2(a) - 1 = 1 - 2sin^2(a)

Объединим уравнения:

sin(x) + sin(y) = 1/2 cos(x) + cos(y) = 1/3

Умножим оба уравнения на 2:

2sin(x) + 2sin(y) = 1 2cos(x) + 2cos(y) = 2/3

Теперь воспользуемся первой тригонометрической идентичностью, чтобы выразить sin(x) и sin(y):

sin(x) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((y-x)/2)

Теперь подставим эти выражения в уравнение 2sin(x) + 2sin(y) = 1:

2(2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)) + 2(2sin((x+y)/2)cos((y-x)/2)) = 1

Упростим уравнение:

4sin((x+y)/2)[cos((x-y)/2) + cos((y-x)/2)] = 1

Теперь воспользуемся второй тригонометрической идентичностью (cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)):

4sin((x+y)/2)[1 - 2sin^2((x-y)/2)] = 1

Теперь заметим, что у нас есть две уравнения с двумя неизвестными (sin((x+y)/2) и sin((x-y)/2)), и их можно решить системой уравнений. Подставим sin((x-y)/2) из одного уравнения в другое:

4sin((x+y)/2)[1 - 2sin^2((x-y)/2)] = 1 4sin((x+y)/2)[1 - 2sin^2((x-y)/2)] = 1

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. 2sin((x+y)/2) + 4sin((x+y)/2)sin^2((x-y)/2) = 1
2. 4sin((x+y)/2)[1 - 2sin^2((x-y)/2)] = 1

Решение этой системы уравнений довольно сложно выполнить аналитически. Можно воспользоваться численными методами или программой для решения нелинейных уравнений, чтобы найти значения sin((x+y)/2) и sin((x-y)/2), а затем использовать их, чтобы найти sin(x+y).

Интересно отметить, что задача имеет несколько решений, и они могут быть найдены численными методами.