Question

Доведіть, що значення виразу (п-1) (n + 1) - (n-7) (n + 3) кратне 4 при всіх натуральних значеннях n

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(п-1) (n + 1) - (n-7) (n + 3) = n^2 - 1^2 - (n^2 - 4n - 21) = -1 + 21 + 4n = 4n + 20 = 4(n + 5) отже при всіх значеннях n  вираз кратен 4

Answer 2

Щоб довести, що вираз (п-1)(n+1) - (n-7)(n+3) є кратним 4 для всіх натуральних значень n, ми можемо розглянути два вирази окремо та довести, що обидва вони є кратними 2.

1. Розглянемо вираз (п-1)(n+1): (п-1)(n+1) = п(n+1) - (n+1)

2. Розглянемо вираз (n-7)(n+3): (n-7)(n+3) = n^2 - 7n + 3n - 21 = n^2 - 4n - 21

Тепер давайте об'єднаємо обидва вирази та знайдемо їхню різницю:

(п-1)(n+1) - (n-7)(n+3) = [п(n+1) - (n+1)] - [n^2 - 4n - 21]

Розкриємо дужки та спростимо вираз:

п(n+1) - (n+1) - n^2 + 4n + 21

Тепер давайте об'єднаємо подібні терміни:

п(n+1) - n^2 + 4n - (n+1) + 21

Тепер розділімо вираз на два підвирази:

[п(n+1) - n^2 + 4n] - [(n+1) - 21]

Тепер ми можемо дослідити обидва підвирази окремо:

1. п(n+1) - n^2 + 4n

   Звернімо увагу, що цей вираз є сумою трьох доданків. Ми можемо розглянути кожен доданок окремо:

   • перший доданок: п(n+1) завжди буде парним, оскільки п - натуральне число.
   • другий доданок: -n^2 є парним для всіх натуральних n.
   • третій доданок: 4n завжди є парним для всіх натуральних n.

   Отже, сума трьох парних чисел завжди є парним числом.

2. (n+1) - 21

   Тут ми маємо вираз, який завжди буде непарним, оскільки різниця між будь-яким натуральним числом n та 21 завжди є непарним числом.

Тепер об'єднаємо ці результати. Ми маємо парний доданок (перший підвираз) мінус непарний доданок (другий підвираз). Парне число мінус непарне число завжди дорівнює непарному числу.

Отже, вираз (п-1)(n+1) - (n-7)(n+3) є непарним числом для всіх натуральних значень n. Але непарне число не може бути кратним 4.

Отже, значення виразу (п-1)(n+1) - (n-7)(n+3) не є кратним 4 для всіх натуральних значень n.