Question

Найдите значение выражения tg³a - ctg3a, если tga - ctga = t.

Answer 1

$\displaystyle\bf\\tg\alpha -Ctg\alpha =t\\\\(tg\alpha -Ctg\alpha)^{2} =t^{2} \\\\tg^{2} \alpha -2\cdot \underbrace{tg\alpha \cdot Ctg\alpha}_{1} +Ctg^{2} \alpha=t^{2} \\\\tg^{2} \alpha -2+Ctg^{2} \alpha =t^{2} \\\\tg^{2} \alpha +Ctg^{2} \alpha =t^{2} +2\\\\\\tg^{3} \alpha -Ctg^{3} \alpha =(tg\alpha -Ctg\alpha )\cdot(tg^{2} \alpha +tg\alpha \cdot Ctg\alpha +Ctg^{2} \alpha )=\\\\\\=t\cdot(t^{2} +2+1)=t\cdot(t^{2}+3)$

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся формулами для тригонометрических функций:

1. tg(a) - ctg(a) = t
2. tg(a) = t + ctg(a)

Теперь возведем обе стороны уравнения в куб:

(tg(a))^3 = (t + ctg(a))^3

Далее раскроем куб суммы с помощью бинома Ньютона:

(tg(a))^3 = t^3 + 3t^2(ctg(a)) + 3t(ctg(a))^2 + (ctg(a))^3

Заметим, что мы ищем значение выражения tg³(a) - ctg³(a), поэтому выразим (ctg(a))^3 из уравнения (1):

(ctg(a))^3 = t^3 - 3t^2(ctg(a)) - 3t

Теперь подставим это значение в раскрытое выражение:

(tg(a))^3 = t^3 + 3t^2(ctg(a)) + 3t(t^3 - 3t^2(ctg(a)) - 3t)

Далее упростим выражение:

(tg(a))^3 = t^3 + 3t^3 - 9t^2(ctg(a)) - 9t^2 - 3t^4 + 9t^3(ctg(a)) + 9t^2

Теперь объединим подобные члены:

(tg(a))^3 = 9t^3 - 9t^2 + 9t^3(ctg(a)) - 9t^2(ctg(a))

И наконец, факторизуем выражение:

(tg(a))^3 - (ctg(a))^3 = 9t^2(t - 1)

Итак, значение выражения tg³(a) - ctg³(a) равно 9t^2(t - 1).