Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями. Зробити малюнок Y = X^2+1 i y=5. Дуже довго мучилась над цією задачею, але відповідь в мене все одно однакова 0 ..

Answer 1

Пояснення:

y=x²+1        y=5            S=?

$x^2+1=5\\\\x^2-4=0\\\\(x+2)*(x-2)=0\\\\x_1=-2\ \ \ \ \ x_2=2.$

$\displaystyle\\S=\int\limits^2_{-2} {(5-(x^2+1))} \, dx=\int\limits^2_{-2} {(5-x^2-1)} \, dx =\int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx=\\\\\\ =(4x-\frac{x^3}{3} )\ |_{-2}^2=4x\ |_{-2}^2-\frac{x^3}{3} \ |_{-2}^2=4*2-4*(-2)-(\frac{2^3}{3} -\frac{(-2)^3}{3} )=\\\\\\=8-(-8)-(\frac{8}{3} -(-\frac{8}{3}))=16- \frac{16}{3}=16-5\frac{1}{3} =10\frac{2}{3} .$

Відповідь: S=10,666667 кв. од.

Answer 2

Давайте спробуємо знайти площу фігури, обмеженої лініями Y = X^2 + 1 і Y = 5, від -безкінечності до +безкінечності.

Спершу знайдемо точки перетину цих двох функцій, тобто ті значення X, при яких Y обох функцій рівні один одному:

X^2 + 1 = 5

Тепер віднімемо 1 з обох боків:

X^2 = 4

Тепер візьмемо квадратний корінь з обох боків:

X = ±2

Таким чином, точки перетину розташовані в точках X = -2 і X = 2.

Тепер ми можемо обчислити площу між цими двома функціями, від -2 до 2. Для цього вам потрібно інтегрувати різницю цих функцій від -2 до 2:

Площа = ∫[from -2 to 2] (5 - (X^2 + 1)) dX

Проведемо обчислення:

Площа = [5X - (X^3/3) - X] от -2 до 2

Площа = [(5(2) - (2^3/3) - 2) - (5(-2) - ((-2)^3/3) + 2)]

Площа = [(10 - 8/3 - 2) - (-10 + 8/3 + 2)]

Площа = [(10 - 8/3 - 2) + (10 - 8/3 - 2)]

Площа = [10 - 8/3 - 2 + 10 - 8/3 - 2]

Площа = (20 - 16/3 - 4)

Тепер обчислимо це:

Площа = 60/3 - 16/3 - 12/3 = (60 - 16 - 12) / 3 = 32/3

Отже, площа фігури, обмеженої цими двома функціями, від -2 до 2, дорівнює 32/3, або приблизно 10.67 квадратних одиниць.