Question

Определите знак разности 1) ⁴√3-⁶√4 2) ⁸√5-⁶√3 3) √2 ³√3-³√5 4) ³√5√2-√2 ³√6

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Информация. 1. Свойства степеней (a>0, n∈N, m∈N):

$\tt \displaystyle 1) \; \sqrt[n]{\tt x^m} =a^{\dfrac{m}{n} }; \\\\2) \; (a^n)^m=a^{n \cdot m}.$

2. Если a > b, то a - b > 0.

$\tt \displaystyle 3. \; a > b > 1 , \; m \in N \Leftrightarrow a^m > b^m.$

Решение. Поступим так:

а) Возведём в натуральный степень уменьшаемое и вычитаемое;

б) Сравним полученные результаты возведения в степень (свойство 3);

в) Применим свойство 2.

1) Так как НОК(4; 6) = 12, то возведём в 12 степень уменьшаемое и вычитаемое.

$\sqrt[4]{3} =3^{\dfrac{1}{4} }, \;\;\; \sqrt[6]{4} =4^{\dfrac{1}{6}}\\\\(3^{\dfrac{1}{4} })^{12}=3^{\dfrac{12}{4} }=3^3=27, \;\;\; (4^{\dfrac{1}{6}})^{12}=4^{\dfrac{12}{6}}=4^2=16\\\\27 > 16 \Rightarrow 27-16 > 0 \Rightarrow 3^{\dfrac{1}{4} }-4^{\dfrac{1}{6}} > 0 \Rightarrow \sqrt[4]{3} -\sqrt[6]{4} > 0.$

2) Так как НОК(8; 6) = 24, то возведём в 24 степень уменьшаемое и вычитаемое.

$\sqrt[8]{5} =5^{\dfrac{1}{8} }, \;\;\; \sqrt[6]{3} =3^{\dfrac{1}{6}}\\\\(5^{\dfrac{1}{8} })^{24}=5^{\dfrac{24}{8} }=5^3=125, \;\;\; (3^{\dfrac{1}{6}})^{24}=3^{\dfrac{24}{6}}=3^4=81\\\\125 > 81 \Rightarrow 125-81 > 0 \Rightarrow 5^{\dfrac{1}{8} }-3^{\dfrac{1}{6}} > 0 \Rightarrow \sqrt[8]{5} -\sqrt[6]{3} > 0.$

3) Так как НОК(6; 3) = 6, то возведём в 6 степень уменьшаемое и вычитаемое.

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{3}} =\sqrt{\sqrt[3]{4 \cdot 3}} =\sqrt{\sqrt[3]{12}}=(12^{\dfrac{1}{3} })^{\dfrac{1}{2} }=12^{\dfrac{1}{6} }, \;\;\; \sqrt[3]{5} =5^{\dfrac{1}{3}}\\\\(12^{\dfrac{1}{6} })^{6}=12^{\dfrac{6}{6} }=12^1=12, \;\;\; (5^{\dfrac{1}{3}})^{6}=5^{\dfrac{6}{3}}=5^2=25\\\\12 < 25 \Rightarrow 12-25 < 0 \Rightarrow 12^{\dfrac{1}{6} }-5^{\dfrac{1}{3}} < 0 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{3}} -\sqrt[3]{5} < 0.$

4) Так как НОК(6; 6) = 6, то возведём в 6 степень уменьшаемое и вычитаемое.

$\sqrt[3]{5 \cdot \sqrt{2}} =\sqrt[3]{ \sqrt{25 \cdot 2}} =\sqrt[3]{\sqrt{50}}=(50^{\dfrac{1}{2} })^{\dfrac{1}{3} }=50^{\dfrac{1}{6} }, \\\\\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}} =\sqrt{\sqrt[3]{4 \cdot 6}} =\sqrt{\sqrt[3]{24}}=(24^{\dfrac{1}{3} })^{\dfrac{1}{2} }=24^{\dfrac{1}{6} } \\\\(50^{\dfrac{1}{6} })^{6}=50^{\dfrac{6}{6} }=50^1=50, \;\;\; (24^{\dfrac{1}{6}})^{6}=24^{\dfrac{6}{6}}=24^1=24$

$50 > 24 \Rightarrow 50-2 > 0 \Rightarrow 50^{\dfrac{1}{6} }-24^{\dfrac{1}{6}} > 0 \Rightarrow \sqrt[3]{5 \cdot \sqrt{2}} - \sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}} > 0.$

#SPJ1

Answer 2

Для определения знака разности чисел с корнями и/или степенями, сначала вычислим значения чисел и затем найдем разницу.

1. ⁴√3 - ⁶√4:

   • ⁴√3 ≈ 1.3161 (положительное число)
   • ⁶√4 = 2 (положительное число) Разница: 1.3161 - 2 ≈ -0.6839 Знак разности: отрицательный

2. ⁸√5 - ⁶√3:

   • ⁸√5 ≈ 1.4953 (положительное число)
   • ⁶√3 ≈ 1.4646 (положительное число) Разница: 1.4953 - 1.4646 ≈ 0.0307 Знак разности: положительный

3. √2³√3 - ³√5:

   • √2³√3 ≈ 1.5874 (положительное число)
   • ³√5 ≈ 1.7099 (положительное число) Разница: 1.5874 - 1.7099 ≈ -0.1225 Знак разности: отрицательный

4. ³√5√2 - √2³√6:

   • ³√5√2 ≈ 1.6829 (положительное число)
   • √2³√6 ≈ 2.0801 (положительное число) Разница: 1.6829 - 2.0801 ≈ -0.3972 Знак разности: отрицательный

Итак, знаки разностей в данных выражениях разные: в 1) и 3) отрицательные, в 2) и 4) положительные.