Question

CosX+sinX = 0, потрібно розвязати способом піднесення до квадрата. Допоможіть!

Answer 1

Ответ:

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} cosx+sinx = 0 \Leftrightarrow x \in \{-\frac{\pi }{4}+ \pi \cdot k, \; k \in Z \}$

Объяснение:

Требуется решить уравнение cosx+sinx = 0 способом возведения в квадрат.

Информация. 1) Формула сокращённого умножения:

(a+b)² = a²+2·a·b+b².

2) Тригонометрические тождества (x ∈ R):

sin²x + cos²x = 1 - основное тригонометрическое тождество;

sin2x = 2·sinx·cosx.

3) Частный случай решения уравнения вида sinx = a:

$\tt \displaystyle sinx=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+ 2 \cdot \pi \cdot k, \; k \in Z.$

Решение. Возведём заданное уравнение в квадрат и раскроем скобку по формуле сокращённого умножения:

(cosx+sinx)² = 0²

cos²x+2·cosx·sinx+sin²x = 0.

Применим тригонометрические тождества:

2·sinx·cosx+1 = 0

sin2x = -1.

Находим корни уравнения:

$\tt \displaystyle 2 \cdot x=-\frac{\pi }{2}+ 2 \cdot \pi \cdot k, \; k \in Z$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} x=-\frac{\pi }{4}+ \pi \cdot k, \; k \in Z.$

#SPJ1

Answer 2

Щоб розв'язати рівняння cos(x) + sin(x) = 0, скористаємося способом піднесення до квадрата. Спочатку перетворимо косинус і синус у квадрати:

cos^2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin^2(x) = 0

Враховуючи, що cos^2(x) + sin^2(x) = 1 (за ідентичністю Піфагора), маємо:

1 + 2cos(x)sin(x) = 0

Тепер вирішимо рівняння щодо cos(x)sin(x):

2cos(x)sin(x) = -1

cos(x)sin(x) = -1/2

Тепер ми можемо використовувати тригонометричні тотожності, щоб знайти значення cos(x) та sin(x). Одна з можливих пар значень, яка задовольняє це рівняння, це:

cos(x) = 1/√5 sin(x) = -1/√5

або

cos(x) = -1/√5 sin(x) = 1/√5

Отже, дві пари розв'язків цього рівняння:

1. x = arccos(1/√5) + 2πn, x = arcsin(-1/√5) + 2πn, де n - це ціле число.

2. x = arccos(-1/√5) + 2πn, x = arcsin(1/√5) + 2πn, де n - це ціле число.