Question

Визначте скільки розвʼязків залежно від значення а має система рівнянь ах+у=5 { 6х+3у=15

Answer 1

Неоднородная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю

Определитель нашей системы равен $3a-6$, и не равен нулю всегда, кроме случая $a=2$

При $a=2$ первое уравнение системы имеет вид

$2x+y=5$

А второе уравнение системы после деления на 3 имеет вид

$2x+y=5$

То есть тождественно первому уравнению. Так что такая система из двух одинаковых уравнений имеет бесконечно много решений

Ответ

При $a\neq2$ решение единственное, при $a=2$ решений бесконечно много

Answer 2

Для визначення кількості розв'язків системи рівнянь залежно від значення параметра "а", спершу подивимося на систему рівнянь:

1. ах + y = 5
2. 6х + 3у = 15

Можемо помножити обидва боки другого рівняння на 1/3, щоб спростити його:

2. (1/3)(6х + 3у) = (1/3)(15)

Отримаємо:

2. 2х + y = 5

Тепер маємо два рівняння:

1. ах + y = 5
2. 2х + y = 5

Зараз давайте розглянемо можливі варіанти значень параметра "а":

1. Якщо "а" не дорівнює 2, то обидва рівняння не мають спільних розв'язків, оскільки вони мають різні коефіцієнти перед "х" та "у". Тобто, для будь-якого "а" ≠ 2, система не має розв'язків.

2. Якщо "а" = 2, то маємо:

3. 2х + y = 5

4. 2х + y = 5

Обидва рівняння ідентичні. Одне і те саме рівняння подано двічі. В цьому випадку система має безліч розв'язків, оскільки будь-яка пара чисел (х, y), яка задовольняє одне з цих рівнянь, також задовольняє інше.

Отже, система рівнянь має безліч розв'язків при "а" = 2 і не має розв'язків при будь-якому іншому значенні "а".