Question

найдите значение производной функции y=f(x) в точке x0 если f(x)=((x2-1)/x-2)-1/3*x3 x0=-1

Answer 1

$(\frac{x^{2}-1}{x-2}-\frac{1}{3}x^{3})'=\frac{2x*(x-2)-(x^2-1)*1}{(x-2)^{2}}-\frac{1}{3}*3x^{2}=$

$=\frac{2x^{2}-4x-x^{2}+1}{(x-2)^{2}}-x^{2}=\frac{x^{2}-4x+1}{(x-2)^{2}}-x^{2}=$

$=\frac{(x-2)^2-3}{(x-2)^{2}}-x^{2}=1-x^{2}-\frac{3}{(x-2)^{2}}$

Подставляем

$1-(-1)^{2}-\frac{3}{(-1-2)^{2}}=1-1-\frac{3}{9}=-\frac{1}{3}$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = f(x) в точке x0 = -1, мы будем использовать правило дифференцирования. Сначала выразим функцию f(x):

f(x) = ((x^2 - 1) / (x - 2)) - (1/3) * x^3

Теперь найдем производную этой функции:

f'(x) = ((x^2 - 1) / (x - 2))' - ((1/3) * x^3)'

Давайте найдем производные обоих частей по отдельности.

1. Найдем производную первой части ((x^2 - 1) / (x - 2))':

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного:

(f/g)' = (f'g - fg') / g^2

где f = (x^2 - 1) и g = (x - 2).

f'(x) = 2x g'(x) = 1

Теперь применяем формулу:

((x^2 - 1) / (x - 2))' = (2x * (x - 2) - (x^2 - 1) * 1) / (x - 2)^2

((x^2 - 1) / (x - 2))' = (2x^2 - 4x - x^2 + 1) / (x - 2)^2

((x^2 - 1) / (x - 2))' = (x^2 - 4x + 1) / (x - 2)^2

2. Теперь найдем производную второй части ((1/3) * x^3)':

((1/3) * x^3)' = (1/3) * (3x^2) = x^2

Теперь мы имеем выражение для производной f(x):

f'(x) = (x^2 - 4x + 1) / (x - 2)^2 - x^2

Теперь подставим x0 = -1, чтобы найти значение производной в данной точке:

f'(-1) = ((-1)^2 - 4*(-1) + 1) / (-1 - 2)^2 - (-1)^2

f'(-1) = (1 + 4 + 1) / (-3)^2 - 1

f'(-1) = 6 / 9 - 1

f'(-1) = 2/3 - 1

f'(-1) = -1/3

Таким образом, значение производной функции y = f(x) в точке x0 = -1 равно -1/3.