Question

4cos²x-3sinx=3,пожалуйста помогите

Answer 1

Задание. Решить уравнение 4cos²x - 3sinx = 3.
                     Решение:
Пользуясь основным тригонометрическим тождеством  $\sin^2x+\cos^2x=1$ откуда  $\cos^2x=1-\sin^2x$, получаем  $4(1-\sin^2x)-3\sin x=3.$
$4\sin^2x+3\sin x-1=0.$
 
Пусть  $\sin x=t(|t| \leq 1)$, тогда получаем следующее уравнение:  $4t^2+3t-1=0$
$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot4\cdot(-1)=9+16=25$
$t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-3+5}{2\cdot4} = \dfrac{1}{4} ;\\ \\ t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-3-5}{2\cdot4} =-1.$

Обратная замена.
$\left[\begin{array}{ccc}\sin x=-1\\ \sin x= \frac{1}{4} \end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1=- \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z\\ x_2=\mathtt{(-1)^n\cdot\arcsin\frac{1}{4}+ \pi n,n \in Z} \end{array}\right$

Ответ: -π/2 + 2πk, (-1)ⁿ·arcsin(1/4)+πn, где k,n - целые числа.

Answer 2

Давайте решим уравнение 4cos²x - 3sinx = 3. Сначала мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить sinx через cosx:

1. Используем тождество cos²x + sin²x = 1, чтобы выразить sin²x: sin²x = 1 - cos²x.

Теперь подставим это значение в уравнение:

4cos²x - 3(1 - cos²x) = 3.

Распределим -3 по обоим членам уравнения:

4cos²x - 3 + 3cos²x = 3.

Теперь сгруппируем члены с cos²x:

4cos²x + 3cos²x - 3 = 3.

Сложим члены:

7cos²x - 3 = 3.

Теперь добавим 3 к обеим сторонам:

7cos²x = 6.

Разделим обе стороны на 7:

cos²x = 6/7.

Чтобы найти cosx, возьмем квадратный корень с обеих сторон:

cosx = ±√(6/7).

Теперь, чтобы найти x, возьмем арккосинус от обеих сторон:

x = arccos(±√(6/7)).

Значение arccos будет варьироваться в зависимости от знака ±. Вы можете вычислить два разных угла для каждого из этих значений, один в пределах [0, 2π] и другой в пределах [-π, π].

Таким образом, у вас есть два решения для x, одно для каждого значения ±√(6/7).