Question

Решить в целых числах уравнение:3xy+2x+3y=0.

Answer 1

Раскладываем на множители:
3ху + 2х + 3у = 0;
3ху + 3у + 2х + 2 = 2;
3у(х + 1) + 2(х + 1) = 2;
(3у + 2)(х + 1) = 2.
Находим делители 2:
D(2) = {-2; -1; 1; 2}.
Дальше - решить четыре простые системы.
Ответ: (0; 0), (-3; -1).

Answer 2

Чтобы решить уравнение $3xy + 2x + 3y = 0$ в целых числах, давайте попробуем выразить одну из переменных через другую. Например, выразим $x$ через $y$:

$3xy + 2x + 3y = 0$

Сначала вынесем $x$ как общий множитель:

$x(3y + 2) + 3y = 0$

Теперь выразим $x$:

$x = -\frac{3y}{3y + 2}$

Теперь, чтобы $x$ было целым числом, знаменатель $(3y + 2)$ должен быть делителем числа $3y$. Поскольку мы ищем целочисленное решение, то $(3y + 2)$ должен быть делителем $3y$. Таким образом, $3y$ должно делиться на $3y + 2$ без остатка.

Попробуем разные значения $y$ и проверим, когда $3y$ делится на $3y + 2$ без остатка:

1. При $y = 0$: $3y = 0$, $3y + 2 = 2$, $3y$ не делится на $3y + 2$.

2. При $y = 1$: $3y = 3$, $3y + 2 = 5$, $3y$ не делится на $3y + 2$.

3. При $y = 2$: $3y = 6$, $3y + 2 = 8$, $3y$ не делится на $3y + 2$.

4. При $y = 3$: $3y = 9$, $3y + 2 = 11$, $3y$ не делится на $3y + 2$.

5. При $y = 4$: $3y = 12$, $3y + 2 = 14$, $3y$ делится на $3y + 2$ без остатка.

Итак, при $y = 4$ у нас есть целочисленное решение:

$x = -\frac{3y}{3y + 2} = -\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 4 + 2} = -\frac{12}{14} = -\frac{6}{7}$

Таким образом, одним из целочисленных решений этого уравнения является $x = -6$ и $y = 4$.