Question

Найдите область определения выражения: x^2-2x-8/16-x^2, все выражение под корнем

Answer 1

$y =\sqrt{\frac{x^2 - 2x - 8}{16 - x^2}} = \sqrt{\frac{(x-4)(x+2)}{(4-x)(4+x)}} =\sqrt{-\frac{x+2}{x+4}}$

Область определения

-(x + 2)/(x + 4) >= 0

Но нужно помнить, что в начальном выражении x ≠ 4

(x + 2)/(x + 4) <= 0

x ∈ (-4; -2]

Значение x ≠ 4 не попадает в область определения, поэтому не влияет.

Но все равно про это условие нельзя забывать.

Answer 2

Для определения области определения выражения под корнем ($\sqrt{\ldots}$), необходимо учесть, что в знаменателе у нас есть выражение $16 - x^2$, которое не должно быть равно нулю (поскольку нельзя делить на ноль).

Выражение под корнем ($\sqrt{\ldots}$) это $x^2 - 2x - \frac{8}{16 - x^2}$. Чтобы найти область определения этого выражения, нужно определить значения $x$, при которых знаменатель $16 - x^2$ не равен нулю:

$16 - x^2 \neq 0$

Решим это уравнение:

$16 - x^2 = 0$ $x^2 = 16$ $x = \pm 4$

Таким образом, область определения выражения под корнем ($\sqrt{\ldots}$) - это множество всех $x$, кроме $x = -4$ и $x = 4$:

$D = (-\infty, -4) \cup (-4, 4) \cup (4, \infty)$