Question

ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ ОГРАНИЧЕННОЙ ЛИНИЯМ У=4-Х^2 И У=Х^2-2Х

Answer 1

Площадь данной фигуры находится по формуле В данном случаеf(x) = 4 - x^2g(x) = 2x + 1Прямая и парабола пересекаются в точках -3 и 1. Будем искать площадь фигуры на промежутке [-3;1]. Теперь можно упросить выражение f(x) - g(x)(4 - x^2) - (2x + 1) = 4 - x^2 - 2x - 1 = 3 - x^2 - 2xНайдём первообразную, чтоб не переписыать потомF(x) = F(3 - x^2 - 2x) = 3x - Теперь подставляем.S = ед^2

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, сначала найдем точки их пересечения, затем определим интервалы, на которых они ограничивают фигуру. Затем мы можем использовать интеграл для вычисления площади между этими кривыми.

Первым шагом найдем точки пересечения кривых:

У = 4 - X^2 У = X^2 - 2X

Для этого приравняем их друг к другу:

4 - X^2 = X^2 - 2X

Теперь решим это уравнение:

2X^2 - 2X - 4 = 0

Решение этого квадратного уравнения можно найти с помощью квадратного уравнения:

X = [2 ± sqrt(2^2 - 42(-4))] / (2*2)

X = [2 ± sqrt(4 + 32)] / 4

X = [2 ± sqrt(36)] / 4

X = [2 ± 6] / 4

Теперь найдем значения X:

1. X = (2 + 6) / 4 = 8 / 4 = 2
2. X = (2 - 6) / 4 = -4 / 4 = -1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: X = -1 и X = 2.

Теперь определим интервалы, на которых эти кривые ограничивают фигуру:

Для X от -1 до 2, кривая У = X^2 - 2X находится ниже кривой У = 4 - X^2.

Теперь мы можем использовать интеграл для вычисления площади между этими кривыми на указанном интервале:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (4 - X^2 - (X^2 - 2X)) dx

После вычислений:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (6 - 3X^2 + 2X) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

Площадь = [6X - X^3 + X^2] от -1 до 2

Площадь = (62 - 2^3 + 2^2) - (6(-1) - (-1)^3 + (-1)^2)

Площадь = (12 - 8 + 4) - (-6 + 1 + 1)

Площадь = 12

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми У = 4 - X^2 и У = X^2 - 2X, равна 12 квадратным единицам.