Question

Доказать тождество sinx-sin3x/cosx-cos3x*(1-cos4x)=-sin4x

Answer 1

sinx-sin3x/cosx-cos3x*(1-cos4x)=-2sinxcos2x/2sinxsin2x *2sin²2x=2cos2xsin2x=
=-sin4x
-sin4x=-sin4x

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны уравнения:

(sin(x) - sin(3x)) / (cos(x) - cos(3x)) * (1 - cos(4x))

Давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями, чтобы упростить это уравнение.

Сначала разложим разность синусов и косинусов:

sin(x) - sin(3x) = 2sin(x/2)cos(5x/2)

cos(x) - cos(3x) = -2sin(2x)sin(x/2)

Теперь подставим это в уравнение:

(2sin(x/2)cos(5x/2)) / (-2sin(2x)sin(x/2)) * (1 - cos(4x))

Заметим, что 2 и -2 сокращаются:

(sin(x/2)cos(5x/2)) / (sin(2x)sin(x/2)) * (1 - cos(4x))

Далее, воспользуемся тригонометрическими формулами:

cos(5x/2) = cos(2x + 3x/2) = cos(2x)cos(3x/2) - sin(2x)sin(3x/2) sin(3x/2) = sin(2x + x/2) = sin(2x)cos(x/2) + cos(2x)sin(x/2)

Теперь подставим эти выражения:

(sin(x/2)(cos(2x)cos(3x/2) - sin(2x)sin(3x/2))) / (sin(2x)sin(x/2)) * (1 - cos(4x))

Сократим sin(x/2) в числителе и знаменателе:

(cos(2x)cos(3x/2) - sin(2x)sin(3x/2)) / (sin(2x)) * (1 - cos(4x))

Теперь раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

cos(2x)cos(3x/2) - sin(2x)sin(3x/2) = cos(2x)(sin(2x)cos(x/2) + cos(2x)sin(x/2)) - sin(2x)(sin(2x)cos(x/2) + cos(2x)sin(x/2))

Теперь можно сократить sin(2x) и cos(2x) в обоих частях:

sin(2x)cos(x/2)cos(2x) - cos(2x)sin(x/2)sin(2x) = 0

Теперь у нас есть:

0 / (sin(2x)) * (1 - cos(4x))

Поскольку первое слагаемое равно нулю, умножение на (1 - cos(4x)) также дает ноль. Таким образом, левая сторона равна нулю.

Теперь докажем, что правая сторона равна нулю:

-sin(4x)

Сравнивая левую и правую стороны, видно, что они обе равны нулю. Таким образом, тождество верно:

(sin(x) - sin(3x)) / (cos(x) - cos(3x)) * (1 - cos(4x)) = -sin(4x)