Question

Доказать что при любых значениях переменных верны неравенства: a)(a+7)(a-8)>(a+12)(a-13) б)(a-9)-12<(a-6)(a-12) в)(4a+3)(4a+5)-(5a-2)<14(5a+4)

Answer 1

А) (а+7)(а-8)>(a+12)(a-13)
a²+7a-8a-56>a²+12a-13a-156
a²-a-56>a²-a-156
a²-a²-a+a-56>-156
-56>-156
Что и требовалось доказать

б) (а-9)-12<(a-6)(a-12)
a-9-12<a²-6a-12a+72
a-21<a²-18a+72
-a²+a+18a-21-72<0
-a²+19a-93<0
a²-19a+93>0
График у=а²-19а+93 - парабола, ветви направлены вверх
а²-19а+93=0
Д=19²-4*93=361-372=-11
График функции не пересекает ось ОХ и находится выше оси ОХ.
Значит а²-19а+93>0 при любых а.
Отсюда начальное неравенство выполняется при любом а.

в) (4а+3)(4а+5)-(5а-2)<14(5a+4)
16a²+12a+20a+15-5a+2<70a+56
16a²+27a-70a+17-56<0
16a²-43a-39<0
График у=16а²-43а-39 - парабола, ветви направлены вверх
16а²-43а-39=0
Д=43²-4*16*(-39)=1849+2496=4345≈65,91²
а₁=43-65,91≈-0,71
         32
а₂=43+65,91≈3,4
          32
       +                -              +
----------- -0,71 ----------- 3,4 ---------- 
                  \\\\\\\\\\\\\\\\\
а∈(-0,71; 3,4)
Получается, что исходное неравенство не выполняется при любом а.
Проверка: пусть а =-1
(4*(-1)+3)(4*(-1)+5)-(5*(-1)-2)<14(5*(-1)+4)
(-4+3)(-4+5)-(-5-2)<14(-5+4)
-1*1+7<14*(-1)
6<-14 - неверно

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из неравенств по очереди:

a) (a+7)(a-8) > (a+12)(a-13)

Раскроем скобки:

a^2 - 8a + 7a - 56 > a^2 - 13a + 12a - 156

Упростим выражение:

a^2 - a - 56 > a^2 - a - 156

Теперь вычитаем из обеих сторон выражения a^2 и -a:

-56 > -156

Это неравенство верно, так как -56 действительно меньше -156. Неравенство выполняется для любых значений переменной 'a'.

б) (a-9) - 12 < (a-6)(a-12)

Раскроем скобки:

a - 9 - 12 < a^2 - 12a - 6a + 72

Упростим выражение:

a - 21 < a^2 - 18a + 72

Переносим все члены на одну сторону:

0 < a^2 - 18a + 72 - a + 21

0 < a^2 - 19a + 93

Давайте рассмотрим это квадратное уравнение. Его дискриминант (D) равен:

D = (-19)^2 - 4 * 1 * 93 = 361 - 372 = -11

Дискриминант отрицательный, что означает, что это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, оно не имеет решений, и неравенство выполняется для любых значений переменной 'a'.

в) (4a+3)(4a+5) - (5a-2) < 14(5a+4)

Раскроем скобки:

(16a^2 + 20a + 12) - (5a - 2) < 70a + 56

Упростим выражение:

16a^2 + 20a + 12 - 5a + 2 < 70a + 56

16a^2 + 15a + 14 < 70a + 56

Переносим все члены на одну сторону:

0 < 70a + 56 - 16a^2 - 15a - 14

0 < -16a^2 + 55a + 42

Теперь давайте рассмотрим это квадратное уравнение. Его дискриминант (D) равен:

D = (55)^2 - 4 * (-16) * 42 = 3025 + 2688 = 5713

Дискриминант положителен, что означает, что это квадратное уравнение имеет действительные корни. Таким образом, неравенство выполняется для любых значений переменной 'a'.