Question

. Арифметическая и геометрическая прогрессии имеют первые члены, равные 5; третьи члены этих прогрессий также равны между собой, а второй член арифметической прогрессии на 10 больше второго члена геометрической прогрессии. Найдите эти прогрессии

Answer 1

А(n)=a1+d(n-1)
b(n)=b1*q^(n-1)
a(1)=5
a(2)=5+d
a(3)=5+d*2
b(1)=5
b(2)=5*q
b(3)=5*q^2
5+d=5*q+10 ; 5+2*d=5*q^2
d=5*q+5
5+10*q+10=5q^2
q^2-2*q-3=0
q1=-1 --(посторонний корень)
q2=3
d2=20
a(n)=5+20(n-1)--->5;25;45
b(n)=5*3^(n-1)--->5;15;45

Answer 2

Давайте обозначим арифметическую прогрессию как A, а геометрическую прогрессию как G. У нас есть следующая информация:

1. Первый член арифметической прогрессии A равен 5: A1 = 5.
2. Первый член геометрической прогрессии G также равен 5: G1 = 5.
3. Третьи члены этих прогрессий равны между собой: A3 = G3.
4. Второй член арифметической прогрессии на 10 больше второго члена геометрической прогрессии: A2 = G2 + 10.

Для арифметической прогрессии A, мы знаем, что любой член A_n может быть выражен как:

A_n = A1 + (n - 1) * d,

где n - номер члена прогрессии, d - разность между соседними членами прогрессии.

Для геометрической прогрессии G, мы знаем, что любой член G_n может быть выражен как:

G_n = G1 * r^(n - 1),

где n - номер члена прогрессии, r - знаменатель прогрессии (отношение между соседними членами).

Из условия 3, мы имеем:

A3 = G3.

Из условия 4, мы имеем:

A2 = G2 + 10.

Теперь давайте подставим значения A3 и A2, используя формулы для арифметической и геометрической прогрессий:

A3 = A1 + 2d, G3 = G1 * r^2, A2 = A1 + d, G2 = G1 * r.

Из условия A3 = G3:

A1 + 2d = G1 * r^2.

Из условия A2 = G2 + 10:

A1 + d = G1 * r + 10.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (A1 и d), которую мы можем решить. Мы также знаем, что A1 = 5 и G1 = 5, поэтому подставим эти значения:

5 + 2d = 5 * r^2, // Уравнение 1 5 + d = 5r + 10. // Уравнение 2

Теперь решим эту систему уравнений. Сначала выразим d из Уравнения 2:

d = 5r + 10 - 5 = 5r + 5.

Теперь подставим это значение d в Уравнение 1:

5 + 2(5r + 5) = 5 * r^2.

Распределите и упростите уравнение:

5 + 10r + 10 = 5 * r^2.

Выразим все в одной степени:

5r^2 - 10r - 5 = 0.

Разделим уравнение на 5:

r^2 - 2r - 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = -2 и c = -1.

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8.

Теперь используем квадратные корни:

r1 = (-b + √D) / (2a) = (-(-2) + √8) / (2 * 1) = (2 + 2√2) / 2 = 1 + √2, r2 = (-b - √D) / (2a) = (-(-2) - √8) / (2 * 1) = (2 - 2√2) / 2 = 1 - √2.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для r: r1 = 1 + √2 и r2 = 1 - √2.

Теперь, когда у нас есть значения r, мы можем найти разности d для каждого из них, используя Уравнение 2:

d1 = 5r1 + 5 = 5(1 + √2) + 5 = 5√2 + 10, d2 = 5r2 + 5 = 5(1 - √2) + 5 = -5√2 + 10.

Теперь у нас есть две пары значений (r, d), и каждая из них определяет свою арифметическую прогрессию:

1. Если r = 1 + √2 и d = 5√2 + 10, то арифметическая прогрессия A будет иметь разность d и начинаться с A1 = 5.
2. Если r = 1 - √2 и d = -5√2 + 10, то арифметическая прогрессия A будет иметь разность d и начинаться с A1 = 5.

Также, для каждой из этих пар (r, d) мы можем найти соответствующую геометрическую прогрессию G:

1. Если r = 1 + √2, то геометрическая прогрессия G начнется с G1 = 5 и будет иметь знаменатель r.
2. Если r = 1 - √2, то геометрическая прогрессия G начнется с G1 = 5 и будет иметь знаменатель r.

Итак, у вас есть два набора прогрессий:

Набор 1:

• Арифметическая прогрессия A1 = 5, разность d1 = 5√2 + 10.
• Геометрическая прогрессия G1 = 5, знаменатель r1 = 1 + √2.

Набор 2:

• Арифметическая прогрессия A2 = 5, разность d2 = -5√2 + 10.
• Геометрическая прогрессия G2 = 5, знаменатель r2 = 1 - √2.

Это решение учитывает все заданные условия, и оно содержит два набора прогрессий, удовлетворяющих этим условиям.