Question

Первые члены арифметической и геометрической прогрессий равны 3. Второй член арифметической прогрессии на 6 больше второго члена геометрической, а третьи члены этих прогрессий вновь равны. Найдите эти прогрессии, если все их члены положительны. 

Answer 1

Пусть
а(n) - n-член арифметической прогрессии
b(n) - n-член геометической прогрессии
по формулам прогрессий
а(n)=а(1)+d*(n-1) для арифметической
b(n)=b(1)* $q ^{n-1}$ для геометрической
имеем
а(1)=3  a(2)=3+d  a(3)=3+2*d
b(1)=3  b(2)=3*q    b(2)=3*q²
из условия задачи имеем
a(2)=b(2)+6
a(3)=b(3)
т.е
3+d=3*q+6    отсюда d=3*q+3
3+2*d=3*q² подставим сюда значение d из предыдущего равенства, получим
3+6*q+6=3*q² или 3q²-6*q-9=0 (разделив обе части уравнения на 3, получим
q²-2*q-3=0)
решим полученное квадратное уравнение
q(1)=3 q(2)=-1
т.к. d=3*q+3 d(1)=12  d(2)=0
проверим
при q=-1 и d=0 a(2)=3 b(2)=1/3, что не удовлетворяет условию задачи
при q=3  и d=12 имеем  a(2)=3+12*1=15 q(2)=3*3=9 и a(2)-b(2)=6;
a(3)=3+12*2=27 b(3)=3*3²=27 и a(3)=b(3), что удовлетворяет условию задачи
Окончательно имеем
формула арифметической прогрессии a(n)=3+12*(n-1)
формула геометической прогрессии b(n)=3*$3 ^{n-1}$

Answer 2

Обозначим первые члены арифметической и геометрической прогрессий как $a_1$ и $g_1$ соответственно. Тогда вторые члены этих прогрессий равны $a_2 = a_1 + d$ и $g_2 = g_1 \cdot q$, где $d$ - разность арифметической прогрессии, $q$ - знаменатель геометрической прогрессии. По условию задачи:

$a_2 = g_2 + 6 \quad \Rightarrow \quad a_1 + d = g_1 \cdot q + 6 \quad (1)$

Также известно, что третьи члены прогрессий равны:

$a_3 = a_1 + 2d = g_1 \cdot q^2 = g_3 \quad (2)$

Из уравнения (2) найдем выражение для $g_1$ через $a_1$ и $d$:

$g_1 = \frac{a_1 + 2d}{q^2} \quad (3)$

Подставим (1) и (3) в уравнение (2) и получим квадратное уравнение относительно $q^2$:

$\left(\frac{a_1 + 4d}{q}\right)^2 = \frac{a_1 + 2d}{q^2}$

Упростим его, умножив обе части на $q^4$:

$(a_1 + 4d)^2 = (a_1 + 2d)q^4$

Разрешим относительно $q^2$:

$q^2 = \frac{a_1 + 4d}{\sqrt{a_1^2 + 4ad}} \quad (4)$

Теперь мы можем найти значения $d$ и $q$ и, соответственно, все члены прогрессий. Подставим выражение (4) в уравнение (1) и найдем значение $d$:

$a_1 + d = g_1 \cdot q + 6$ $a_1 + d = \frac{a_1 + 4d}{\sqrt{a_1^2 + 4ad}} \cdot q + 6$ $\sqrt{a_1^2 + 4ad} \cdot (a_1 + d) = (a_1 + 4d)q + 6\sqrt{a_1^2 + 4ad}$ $(a_1 + d)^2 = (a_1 + 4d)q^2 + 6\sqrt{a_1^2 + 4ad}$ $(a_1 + d)^2 = (a_1 + 4d)\frac{a_1 + 4d}{\sqrt{a_1^2 + 4ad}} + 6\sqrt{a_1^2 + 4ad}$

Упростим и