Question

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB=60. Найти радиус описанной около этого четырёхугольника окружности. Решить двумя способами.

Answer 1

ΔBCA:
AB=2RsinуглаBCA
ΔBCD
CD=2RsinуглаCBD
уголCBD+уголCKB+уголBCA=180°
уголCBD+угол(180°-60°)+уголBCA=180°
уголCBD+уголBCA=180°-угол(180°-60°)
уголCBD+уголBCA=60°
уголCBD=60-уголBCA
25=2Rsinα
16=2Rsin(60°-a)
2R(sin60°cosα-cos60°sinα)
2R(√3/2cosα-1/2sinα)
R(√3cosα-sinα)
ТЕПЕРЬ
16/25=R(√3cosα-sinα)/2Rsinα
57sinα=25√3cosα
И ЕСЛИ
3249sin²α=625*3cos²α
3249sin²α=1875(1-sin²α)
5124sin²α=1875
sin²α= $\frac{625}{1708}$
sinα= $\sqrt{ \frac{625}{1708} }$
sinα=25/2√427
25=2R*25/2√427
1=R/√427
R=√427

Answer 2

Давайте решим эту задачу двумя способами.

Первый способ:

1. Рассмотрим треугольник AKB. Мы знаем, что угол AKB = 60 градусов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то угол BAK = (180 - 60) / 2 = 60 / 2 = 30 градусов.

2. Теперь мы можем рассмотреть треугольник BKC. Угол BKC также равен 60 градусов, так как он образуется при пересечении диагоналей четырёхугольника. Следовательно, угол BCK = (180 - 60) / 2 = 60 / 2 = 30 градусов.

3. Рассмотрим треугольник ACD. Угол CAD равен 30 градусов (половина угла BAK), а угол ADC равен 60 градусов (половина угла BKC). Таким образом, угол CAD + угол ADC = 30 + 60 = 90 градусов.

4. Мы видим, что в треугольнике ACD у нас есть прямой угол при вершине C. Это значит, что треугольник ACD является прямоугольным.

5. Мы также знаем, что AC и BD - это диагонали четырёхугольника, и они пересекаются в точке K. В прямоугольном треугольнике ABCD диагонали всегда пересекаются в центре окружности, описанной вокруг этого четырёхугольника.

6. Поэтому точка K - это центр описанной окружности.

7. Мы можем найти радиус описанной окружности, используя теорему Пифагора для треугольника ACD:

   AC^2 + CD^2 = AD^2

   25^2 + 16^2 = AD^2

   625 + 256 = AD^2

   881 = AD^2

   AD = √881

8. Теперь, так как точка K - центр описанной окружности, радиус этой окружности равен половине длины диагонали AD:

   Радиус = AD / 2 = √881 / 2

Таким образом, радиус описанной окружности равен √881 / 2.

Второй способ:

1. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Мы знаем, что угол AKB = 60 градусов.

2. Рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC равен 90 градусов, так как CD параллельно AB, и угол BCD равен 90 градусов (по определению прямоугольника).

3. Теперь мы можем рассмотреть треугольник AKB. Мы знаем, что угол AKB = 60 градусов, и угол ABC = 90 градусов. Следовательно, угол KBC = 180 - 60 - 90 = 30 градусов.

4. Так как угол KBC = 30 градусов, а угол BCK = 30 градусов (из первого способа), то треугольник BCK является равнобедренным треугольником, где BC = CK.

5. Теперь мы знаем, что точка K лежит на биссектрисе угла BAC (из треугольника ABC).

6. Так как точка K лежит на биссектрисе угла BAC и на биссектрисе угла BCD (по определению биссектрисы), то она является центром описанной окружности.

7. Мы можем найти радиус описанной окружности, используя формулу для радиуса биссектрисы в равнобедренном треугольнике:

   Радиус = BC * sin(угол BCK) = BC * sin(30 градусов)

8. Так как BC = CK, мы можем использовать сторону четырёхугольника BC, которую мы знаем:

   BC = 25 (из условия задачи).

9. Теперь мы можем вычислить радиус описанной окружности:

   Радиус = 25 * sin(30 градусов) = 25 * 0.5 = 12.5

Таким образом, радиус описанной окружности равен 12.5.

Оба способа дают одинаковый результат: радиус описанной окружности равен 12.5.