Question

Решите неравенство: 7x² - 4x + 1 > 0 И объясните, пожалуйста, почему ответ не ∅.

Answer 1

$7x^2-4x+1\ \textgreater \ 0 \\ 7*(x^2- \frac{4}{7}x+ \frac{1}{4})\ \textgreater \ 0 \\ 7*[(x- \frac{2}{7})^2- \frac{4}{49}+ \frac{1}{4} ]\ \textgreater \ 0 \\ (x- \frac{2}{7})^2+ \frac{33}{196}\ \textgreater \ 0$
x∈R

Answer 2

$7 x^{2} -4x+1\ \textgreater \ 0 \\ 7 x^{2} -4x+1=0 \\ D=16-28=-12\ \textless \ 0$

$x\in (- \infty ;+ \infty )$


$7 x^{2} -4x+1 \ \textgreater \ 0 \\ \\ x=1 \\ 7*1-4*1+1=7-4+1=3+1=4\ \textgreater \ 0 \\ x=-1 \\ 7*(-1) ^{2} -4*(-1)+1=7*1+4+1=7+4+1=7+5=12$

Answer 3

Чтобы решить это квадратное неравенство, давайте сначала найдем его корни. Нам нужно найти значения x, при которых левая часть неравенства равна 0:

7x² - 4x + 1 = 0

Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 7, b = -4 и c = 1:

x = (4 ± √((-4)² - 4 * 7 * 1)) / (2 * 7)

x = (4 ± √(16 - 28)) / 14

x = (4 ± √(-12)) / 14

Так как подкоренное выражение отрицательно (-12 < 0), у нас нет действительных корней уравнения. Это означает, что уравнение 7x² - 4x + 1 = 0 не имеет решений в действительных числах.

Теперь давайте проанализируем знак выражения 7x² - 4x + 1, не находя точных значений корней. Мы видим, что коэффициент при x² равен положительному числу (7), что означает, что парабола открывается вверх. Кроме того, так как у нас нет корней, парабола не пересекает ось x.

Теперь мы хотим знать, когда выражение 7x² - 4x + 1 больше нуля. Поскольку парабола открывается вверх и не пересекает ось x, она положительна выше своего вершины.

Чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу x = -b / (2a):

x = -(-4) / (2 * 7) = 4 / 14 = 2 / 7

Теперь мы можем найти значение параболы в точке x = 2/7:

7(2/7)² - 4(2/7) + 1 = 2/7 - 8/7 + 1 = (2 - 8 + 7)/7 = 1/7

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2/7, 1/7), и значение выражения 7x² - 4x + 1 равно 1/7 в этой точке.

Теперь мы знаем, что парабола положительна выше своей вершины, и её значение в вершине равно 1/7. Следовательно, неравенство 7x² - 4x + 1 > 0 выполняется для всех значений x, кроме точек в окрестности вершины параболы.

Ответ: Решение данного неравенства - это все действительные числа x, кроме точек в окрестности x = 2/7, исключая саму точку x = 2/7.