Question

Второй член геометрической прогрессии равен 9. Сумма третьего и четвертого членов этой прогрессии равна 4 . Найдите первый и третий её члены, если произведение первого и второго члена положительно.

Answer 1

По формуле n-го члена геометрической прогрессии: $b_n=b_1q^{n-1}$:

$b_3+b_4=b_1q^2+b_1q^3=b_2q+b_2q^2=9q(1+q)=4\\ \\ 9q^2+9q-4=0$

Решая как квадратное уравнение, получим $q_1=-\dfrac{4}{3};~~ q_2=\dfrac{1}{3}$

Тогда: $b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac{9}{-\dfrac{4}{3}}=-\dfrac{27}{4};~~~or~~~ b_1=\dfrac{9}{\dfrac{1}{3}}=27$

Так как b1 * b2 = (-27/4) * 9 < 0, то $b_1=-\dfrac{27}{3}$ отбрасываем. И так как 27*9 > 0, то удовлетворяет условию только b1 = 27 и знаменатель прогрессии q=1/3.

третий член: $b_3=b_2q=9\cdot\dfrac{1}{3}=3$

Ответ: b1 = 27; b3 = 3.

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a", а знаменатель (отношение между соседними членами) как "q". Тогда второй член прогрессии будет равен "a * q", а третий член - "a * q^2", и четвертый член - "a * q^3".

Условие гласит, что второй член равен 9, поэтому:

a * q = 9

Также условие гласит, что сумма третьего и четвертого членов равна 4:

a * q^2 + a * q^3 = 4

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и q). Мы можем решить эту систему уравнений. Сначала из первого уравнения выразим a:

a = 9 / q

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

(9 / q) * q^2 + (9 / q) * q^3 = 4

Упростим выражение:

9q + 9q^2 = 4

Теперь преобразуем уравнение в квадратное уравнение относительно q:

9q^2 + 9q - 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным уравнением или факторизацией. В данном случае мы воспользуемся формулой для квадратных уравнений:

q = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 9, b = 9, c = -4. Подставим значения:

q = (-9 ± √(9² - 4 * 9 * (-4))) / (2 * 9)

q = (-9 ± √(81 + 144)) / 18

q = (-9 ± √225) / 18

q = (-9 ± 15) / 18

Теперь у нас есть два возможных значения для q:

1. q = (15 - 9) / 18 = 6 / 18 = 1/3
2. q = (-15 - 9) / 18 = -24 / 18 = -4/3

Теперь, когда у нас есть значения q, мы можем найти соответствующие значения a:

1. Для q = 1/3:

a = 9 / (1/3) = 9 * 3 = 27

2. Для q = -4/3:

a = 9 / (-4/3) = 9 * (-3/4) = -27/4

Теперь мы знаем два возможных набора значений:

1. Первый член a = 27, третий член a * q^2 = 27 * (1/3)^2 = 27 * 1/9 = 3
2. Первый член a = -27/4, третий член a * q^2 = (-27/4) * (-4/3)^2 = (-27/4) * (16/9) = -12

Итак, первый и третий члены геометрической прогрессии могут быть равными 27 и 3 или -27/4 и -12, в зависимости от значения q.