Question

Решить тригонометрическое уравнение: cosx-cos2x=1

Answer 1

$cosx-cos2x=1$
$cosx-2cos^{2}x+1=1$
$2cos^{2}x-cosx=0$
$cosx*(2cosx-1)=0$
1) $cosx=0$
$x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k$, k∈Z
2) $cosx=0.5$
$x=+- \frac{ \pi }{3} +2 \pi k$, k∈Z

Answer 2

Чтобы решить уравнение cos(x) - cos(2x) = 1, давайте используем тригонометрические идентичности для преобразования его в более удобную форму. Воспользуемся формулой разности для косинусов:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь подставим это в исходное уравнение:

cos(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) = 1

Теперь мы можем преобразовать это уравнение, используя тригонометрические идентичности для синуса и косинуса:

cos(x) - (1 - cos^2(x)) = 1

Теперь у нас есть уравнение только с косинусами:

cos(x) - 1 + cos^2(x) = 1

Теперь объединим члены и преобразуем уравнение:

cos^2(x) + cos(x) - 2 = 0

Теперь это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = 1 и c = -2. Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac D = 1^2 - 4(1)(-2) D = 1 + 8 D = 9

Теперь найдем два значения x, используя квадратное уравнение:

x1 = (-b + √D) / (2a) x1 = (-1 + √9) / (2*1) x1 = (-1 + 3) / 2 x1 = 2 / 2 x1 = 1

x2 = (-b - √D) / (2a) x2 = (-1 - √9) / (2*1) x2 = (-1 - 3) / 2 x2 = -4 / 2 x2 = -2

Таким образом, уравнение cos(x) - cos(2x) = 1 имеет два решения:

x1 = 1 и x2 = -2.