Question

Вычислить интеграл: 1) cos^3(x)*sin^2(x) dx 2)dx\(x^2+10x-1)

Answer 1

$1)\; \int cos^3x\cdot sin^2x\, dx=\int sin^2x\cdot cos^2x\cdot cosx\, dx=\\\\=\int sin^2x(1-sin^2x)cosx\, dx=[\, t=sinx,\; dt=cosx\, dx\, ]=\\\\=\int (t^2-t^4)dt=\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{1}{5}sin^5x+C$

$2)\; \; \int \frac{dx}{x^2+10x-1}=\int \frac{dx}{(x+5)^2-26}=[\, t=x+5,\; dt=dx\, ]=\\\\=\int \frac{dt}{t^2-26}=\frac{1}{2\sqrt{26}}\cdot ln\left |\frac{t-\sqrt{26}}{t+\sqrt{26}}\right |+C=\frac{1}{2\sqrt{26}}\cdot ln\left |\frac{x+5\sqrt{26}}{x+5+\sqrt{26}}\right |+C$

Answer 2

Давайте вычислим данные интегралы:

1. ∫cos^3(x) * sin^2(x) dx

Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du

В данном случае можно выбрать:

u = cos^3(x) => du = -3cos^2(x)sin(x)dx dv = sin^2(x)dx => v = (1/3)(sin^3(x))

Теперь используем формулу интегрирования по частям:

∫cos^3(x)sin^2(x)dx = (1/3)(cos^3(x)sin^3(x)) - ∫(1/3)(sin^3(x))(-3cos^2(x)sin(x))dx

Упростим выражение:

(1/3)(cos^3(x)sin^3(x)) + ∫sin^4(x)cos^2(x)dx

Для интегрирования ∫sin^4(x)cos^2(x)dx можно воспользоваться тригонометрической подстановкой. Заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x), поэтому:

sin^4(x) = (sin^2(x))^2 = (1 - cos^2(x))^2

Теперь заменим sin^4(x) в интеграле:

∫sin^4(x)cos^2(x)dx = ∫(1 - cos^2(x))^2cos^2(x)dx

Теперь проведем подстановку, где t = cos(x), и dt = -sin(x)dx:

∫(1 - t^2)^2t^2(-dt)

Вычислим этот интеграл:

∫(1 - t^2)^2t^2(-dt) = -∫(1 - t^2)^2t^2dt

Теперь мы имеем степенной интеграл от t, который можно решить с помощью метода интегрирования по частям. Давайте обозначим:

u = (1 - t^2)^2 => du = -4t(1 - t^2)dt dv = t^2dt => v = (1/3)t^3

Применяем формулу интегрирования по частям:

-∫(1 - t^2)^2t^2dt = -[(1 - t^2)^2(1/3)t^3 - ∫(1/3)t^3(-4t(1 - t^2))dt]

Упростим выражение:

-[(1/3)t^3(1 - t^2)^2 + (4/3)∫t^4(1 - t^2)dt]

Теперь мы имеем степенной интеграл и можем его решить:

∫t^4(1 - t^2)dt = ∫(t^4 - t^6)dt

Интегрируем каждую часть по отдельности:

∫t^4dt - ∫t^6dt

(1/5)t^5 - (1/7)t^7

Теперь подставим обратно t = cos(x):

-[(1/3)cos^3(x)(1 - cos^2(x))^2 + (4/3)((1/5)cos^5(x) - (1/7)cos^7(x))]

Итак, интеграл ∫cos^3(x)sin^2(x)dx равен:

(1/3)cos^3(x)(1 - cos^2(x))^2 - (4/15)cos^5(x) + (4/21)cos^7(x) + C, где C - константа интегрирования.

2. ∫dx / (x^2 + 10x - 1)

Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться методом частных дробей. Сначала разложим знаменатель на множители:

x^2 + 10x - 1 = (x^2 + 10x + 25) - 26 = (x + 5)^2 - 26

Теперь можем представить интеграл в виде суммы двух интегралов:

∫dx / [(x + 5)^2 - 26]

Сначала сделаем замену переменной: u = x + 5, du = dx. Тогда интеграл примет вид:

∫du / (u^2 - 26)

Заметим, что здесь у нас встречается разность квадратов, и мы можем воспользоваться тригонометрической подстановкой:

u^2 - 26 = 5^2 - 26 = -21

Теперь проведем подстановку:

u = √21 * tan(v), du = √21 * sec^2(v)dv

Интеграл станет:

∫(√21 * sec^2(v)dv) / (-21)

(-1/√21) ∫sec^2(v)dv

Теперь интегрируем sec^2(v) по v:

(-1/√21)tan(v) + C

Теперь вернемся к исходной переменной x:

(-1/√21)tan(v) + C = (-1/√21)tan(arctan((x+5)/√21)) + C

(-1/√21)((x+5)/√21) + C

(-(x+5))/21 + C

Итак, интеграл ∫dx / (x^2 + 10x - 1) равен:

-(x+5)/21 + C, где C - константа интегрирования.