Question

Доведіть, що вираз (10 у степені n+2) : 3 є натуральним числом при довільному натуральному n? ПЖПЖПж!!!!

Answer 1

Перший спосіб
методом мат. індукції

база індукції: при n=1 твердження вірне
так як $10^{1}+2=12$кратне 3

гіпотеза індукції: Нехай при n=k твердження вірне
тобто справделиво що $10^k+2$ кратне 3

індцукційний перехід. Доведемо тепер що при n=k+1твердження також вірне
$10^{k+1}+2=10*10^k+2=9*10^k+(10^k+2)$ кратне 3, там як перший доданок кратний 3 (перший множник добутку 9 кратний 3), другий кратний у силу припущення індукції.
За приниципом мат.ідукції твердження є вірним.
====================================
другий спосіб
так як число $10^n$=10000....0 (одна одиниця, n нулів, причому нуль остання цифра),то
число $10^n+2$=10000...0002(одна одиниця, n-1 нуль, одна 2)
сума цифр числа 1+0+0+0+...+0+2=3 а отже за ознакою подільності на 3, дане число кратне 3при будьякому натуральному n
===========
третій спосіб
через залишки від ділення
так як 10 при діленні на 3 дає залишок 1,
то і 10 у степені n=10*10*10*...*10 (n раз) дасть залишок, який дає число 1*1*1*.....*1 (n раз)=1, тобто 1 (1 при діленні на 3дає залишок 1)
а значить число $10^n+2$ дасть залишок такий же як дасть залишок від ділення суми залишків чисел 1 + 2 =3 , залишок 0 (так як 3 кратне 3), а значить задане число кратне 3
доведено
===========
четвертий спосіб (можна вивести формулу
10^1+2=12=3*4
10^2+2=102=3*34
100^3+2=3*334
....
$10^n+2$=3*3333...34 (n-1 трійка і 1 четвірка)
або
пятий спосіб
так як [tex]10^n+2=999..99(n-1 раз) +1+2=9*111...1(n-1) раз+3

Answer 2

Щоб довести, що вираз (10 у степені n+2) : 3 є натуральним числом для довільного натурального n, ми можемо використовувати математичну індукцію.

1. Базовий випадок (n = 1): При n = 1 вираз (10 у степені n+2) : 3 стає (10 у степені 3) : 3 = 1000 : 3 = 333,33333... (десятковий період). Це число не є натуральним.

2. Припустимо, що вираз (10 у степені k+2) : 3 є натуральним числом для деякого k (припущення індукції).

3. Доведемо, що це також справедливо для k+1: Розглянемо вираз (10 у степені (k+1)+2) : 3: (10 у степені (k+1)+2) : 3 = (10 у степені k+3) : 3 = ((10 у степені k+2) * 10) : 3.

   Ми вже припустили, що (10 у степені k+2) : 3 є натуральним числом (за припущенням індукції). Тепер ми ділимо його на 3, що не змінює його натурального статусу, і множимо на 10, що також не впливає на його натуральний характер. Таким чином, ((10 у степені k+2) * 10) : 3 також є натуральним числом.

Отже, ми показали, що якщо вираз (10 у степені k+2) : 3 є натуральним числом для деякого k, то він також є натуральним числом для k+1. Оскільки ми довели, що базовий випадок невірний (для n = 1), то вираз (10 у степені n+2) : 3 не є натуральним числом для жодного натурального n.