Question

Помогите: интеграл x^3dx/(x-1)^2(x+3)

Answer 1

$\int \frac{x^3\, dx}{(x-1)^2(x+3)}=\int \frac{x^3\, dx}{(x^2-2x+1)(x+3)}=\int \frac{x^3}{x^3+x^2-5x+1}dx=\\\\=\int (1+\frac{-x^2+5x-1}{x^3+x^2-5x+1})dx=\int dx-\int \frac{x^2-5x+1}{(x-1)^2(x+3)}dx;\\\\\frac{x^2-5x+1}{(x-1)^2(x+3)}=\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}\quad \to \\\\x^2-5x+1=A(x+3)+B(x-1)(x+3)+C(x-1)^2\; \; \to$

$x=1:\; \; A=\frac{1-5+1}{1+3}=-\frac{3}{4}\\\\x=-3:\; \; C=\frac{9+15+1}{16}=\frac{25}{16}\\\\x^2|\; \; 1=B+C\; \; \; \rightarrow \; \; \; B=C-1=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16}$

$\int \frac{x^3\, dx}{(x-1)^2(x+3)}=x+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{(x-1)^2}-\frac{9}{16}\int \frac{dx}{x-1}-\frac{25}{16}\int \frac{dx}{x+3}=\\\\=x+\frac{3}{4}\cdot \frac{(x-1)^3}{3}-\frac{25}{16}\cdot ln|x+3|+C$

Answer 2

Чтобы вычислить интеграл:

∫(x^3 dx) / ((x-1)^2(x+3))

Мы можем разложить дробь на части с использованием метода частных дробей:

∫(x^3 dx) / ((x-1)^2(x+3)) = ∫(A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x+3)) dx

Теперь найдем значения A, B и C. Умножим обе стороны на ((x-1)^2(x+3)), чтобы избавиться от дроби:

x^3 = A(x+3) + B(x-1) + C

Теперь подставим различные значения x, чтобы найти коэффициенты A, B и C.

1. Подставим x = 1: 1 = 4A A = 1/4

2. Подставим x = -3: -27 = -4C C = 27/4

3. Подставим x = 0 (по желанию): 0 = -B B = 0

Теперь у нас есть значения A, B и C, и мы можем выразить интеграл в виде суммы трех интегралов:

∫(x^3 dx) / ((x-1)^2(x+3)) = ∫(1/4(x-1) + 0 + 27/4(x+3)) dx

Теперь проинтегрируем каждую из частей по отдельности:

∫(1/4(x-1) + 0 + 27/4(x+3)) dx = (1/4)∫(x-1) dx + (27/4)∫(x+3) dx

Теперь вычислим каждый из интегралов:

(1/4)∫(x-1) dx = (1/4)(x^2/2 - x) + C1

(27/4)∫(x+3) dx = (27/4)(x^2/2 + 3x) + C2

Где C1 и C2 - произвольные постоянные интеграции. Теперь мы можем объединить результаты:

(1/4)(x^2/2 - x) + (27/4)(x^2/2 + 3x) + C

Где C - постоянная интеграции.

Итак, интеграл:

∫(x^3 dx) / ((x-1)^2(x+3))

равен:

(1/4)(x^2/2 - x) + (27/4)(x^2/2 + 3x) + C